2-variedad
Una superficie se puede definir como un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que forma un espacio topológico tridimensional, que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio euclídeo bidimensional. Así alrededor de cada punto de una superficie esta se aproxima lo suficiente por el plano tangente a la superficie en dicho punto.
Una definición tradicional de superficie que alude a términos intuitivos pero con la que resulta fácil trabajar desde un punto de vista matemático fue la dada por Euclides:
Una superficie es una variedad bidimensional, es decir, un objeto topológico que localmente "se parece" al plano euclídeo (localmente homeomorfo al plano). Eso significa que si tomamos un área muy pequeña de la superficie es parecida al plano euclídeo.
Más formalmente el homeomorfismo local entre una superficie y el plano euclídeo implica que para cada punto de una superficie hay una vecindad de P (una pequeña región que la rodea) que es homeomorfa a un disco abierto de . Esta propiedad de ser homeomorfa con el plano permite construir un sistema de coordenadas local bidimensional en torno a cualquier punto en la superficie. Se puede llamar al homeomorfismo local que va de la superficie a como carta y al inverso (de este homeomorfismo) parametrización. No siempre es posible parametrizar una superficie con un único homeomorfismo local.
Una superficie (topológica) con frontera es un espacio topológico de tipo Hausdorff en que cada punto tiene una vecindad abierta V para la que existe un homeomorfismo φ con un conjunto abierto del semiplano superior del plano euclídeo . El par ordenado (V, φ) se llama carta (local) de coordenadas del punto [esta carta no es única porque para cada punto existen de hecho muchas posibles elecciones de coordenadas].
Las superficies usuales son versiones curvadas del plano, de hecho son localmente homeomorfas a él. No es extraño por tanto que varios tipos de superficies interesantes en las aplicaciones, se definan a partir de propiedades de curvatura respecto al plano euclídeo o en términos de isometrías. Además otros conceptos topológicos interesantes como la orientabilidad permiten expresar formalmente ciertas propiedades de las superficies.
Intuitivamente una superficie cerrada en el espacio tridimensional es cualquier superficie que encierra un volumen, dividiendo a dicho espacio en una región "acotada" y una región "no acotada". En 4 o más dimensiones también existen superficies cerradas pero la noción intuitiva anterior no es válida, ya que las superficies cerradas en más dimensiones no dividen al espacio de esta forma.
Algunas superficies tienen propiedades interesantes que son expresables en términos de su curvatura, estos tipos son las superficies desarrollables, regladas y alabeadas:
Una última propiedad menos intuitiva es la de orientabilidad, que permite distinguir entre superficies orientables y no-orientables. Una superficie orientable puede definirse simplemente como una variedad orientable de dimensión dos, donde toda curva cerrada simple contenida tiene una vecindad regular homeomorfa a un cilindro abierto. Cualquier variedad de dimensión dos que no es orientable es una superficie no-orientable. Esto es, existe al menos una curva cerrada simple contenida que tiene una vecindad regular homeomorfa a una banda de Möbius.
Las superficies orientables cerradas tienen la propiedad de dividir el espacio tridimensional (donde siempre pueden ser encajadas) en dos regiones diferentes y disjuntas: una acotada por dicha superficie que es de volumen finito y otra no acotada exterior a dicho volumen.
Este término se utiliza para distinguirlas de las superficies que no encierran nada en su interior, como un plano infinito en referencia al espacio tridimensional. Es imposible hablar de que las superficies no orientables dividan el espacio tridimensional pues estas superficies no pueden ser encajadas en él.
Un importante resultado matemático es el teorema de clasificación de superficies cerradas, el cual afirma que toda superficie cerrada (es decir, compacta y sin frontera o borde) es homeomorfa a algún miembro de las siguientes tres familias de superficies:
Dicho de otra manera, las superficies anteriores son todas las superficies cerradas que existen (salvo homeomorfismo). La superficies de las dos primeras familias son orientables. Es conveniente combinar las dos primeras familias, considerando la esfera como la suma conexa de cero toros. El número g de toros involucrados en la construcción se denomina género de la superficie. Puesto que la esfera y el toro tienen características de Euler 2 y 0, respectivamente, se deduce que la característica de Euler de la suma conexa de g toros es precisamente .
Las superficies de la tercera familia son no-orientables. La característica de Euler del plano proyectivo real es 1, así la suma conexa de k de ellos es .
De todo esto se sigue, que una superficie cerrada está determinada -salvo homeomorfismo- por dos propiedades: el valor numérico de su característica de Euler (o su género) y si es o no-orientable.
Es posible clasificar también las superficies que no son cerradas (es decir, con frontera). Esto se obtiene como el esquema anterior, añadiendo el número de fronteras que tiene la superficie.