Algoritmo de Dijkstra

El algoritmo de Dijkstra, también llamado algoritmo de caminos mínimos, es un algoritmo para la determinación del camino más corto, dado un vértice origen, hacia el resto de los vértices en un grafo que tiene pesos en cada arista. Su nombre alude a Edsger Dijkstra, científico de la computación de los Países Bajos que lo concibió en 1956 y lo publicó por primera vez en 1959.^[1]​^[2]​

La idea subyacente en este algoritmo consiste en ir explorando todos los caminos más cortos que parten del vértice origen y que llevan a todos los demás vértices; cuando se obtiene el camino más corto desde el vértice origen hasta el resto de los vértices que componen el grafo, el algoritmo se detiene. Se trata de una especialización de la búsqueda de costo uniforme y, como tal, no funciona en grafos con aristas de coste negativo (al elegir siempre el nodo con distancia menor, pueden quedar excluidos de la búsqueda nodos que en próximas iteraciones bajarían el costo general del camino al pasar por una arista con costo negativo).^{[cita requerida]}

Una de sus aplicaciones más importantes reside en el campo de la telemática. Gracias a él, es posible resolver grafos con muchos nodos, lo que sería muy complicado resolver sin dicho algoritmo, encontrando así las rutas más cortas entre un origen y todos los destinos en una red.^{[cita requerida]}

Teniendo un grafo dirigido ponderado de ${displaystyle N}$ nodos no aislados, sea ${displaystyle x}$ el nodo inicial. Un vector ${displaystyle D}$ de tamaño ${displaystyle N}$ guardará al final del algoritmo las distancias desde ${displaystyle x}$ hasta el resto de los nodos.

Una vez terminado al algoritmo, ${displaystyle D}$ estará completamente lleno.

Orden de complejidad del algoritmo:

La complejidad computacional del algoritmo de Dijkstra se puede calcular contando las operaciones realizadas:

Luego, en cada iteración se realizan a lo sumo 2(n-1) operaciones.

Entonces:

Teorema: El algoritmo de Dijkstra realiza O(n²) operaciones (sumas y comparaciones) para determinar la longitud del camino más corto entre dos vértices de un grafo ponderado simple, conexo y no dirigido con n vértices.

En general:

Estructura de datos auxiliar: Q = Estructura de datos cola de prioridad (se puede implementar con un montículo)

Al final, tenemos en el vector distancia en cada posición la distancia mínima del vértice salida a otro vértice cualquiera.

Para llevar a cabo la formulación de un modelo de red con el algoritmo Dijkstra es necesario saber de los nodos de inicio, de final y de transbordo de la red, posteriormente se analizan las etiquetas que se presentan en los arcos de la red, para así poder determinar la función objetivo del problema a formular.

En el siguiente ejemplo se presenta la formulación del modelo de Red de "Ejecución del algoritmo de Dijkstra"

Se formulan las variables de decisión denominadas Xij, que son variables binarias y determinan la activación del arco que conecta el nodo i con j.

En la red que "Ejecución del algoritmo de Dijkstra" las variables de decisión del problema son: X₁₂,X₁₃,X₁₆,X₂₃,X₂₄,X₃₆,X₃₄,X₆₅,X_45.

Posteriormente se plantea la función objetivo que consiste en tomar la ruta que genere el menor valor de etiquetas de toda la red a través de arcos que conectan los nodos.

Función Objetivo= Minimizar 7*X₁₂+9*X₁₃+ 14*X₁₆+10*X₂₃+15*X₂₄+2*X₃₆+11*X₃₄+9X₆₅+6X₄₅

Restricciones del problema. Para llevar a cabo el desarrollo de las restricciones del problema es necesario conocer el nodo de inicio, que en el caso de la red es el nodo 1, el nodo final que es el nodo 5 y los nodos de transbordo que son 2,3,4 y 6. Una vez identificados los nodos de la red se plantean las restricciones del problema

Restricciones del nodo inicial y final: También denominadas restricciones de oferta y demanda en algunos modelos de formulación. Estas restricciones le indican al modelo que solo debe tomar un arco que sale del nodo inicial y un arco que llega al nodo final, esto con el objetivo de garantizar que se cumplan las condiciones del algoritmo Dijkstra.

En el caso de la formulación del modelo las restricciones del nodo inicial y final son:

Nodo Inicial: X₁₂ +X ₁₃ +X_{16 = 1}

Nodo Final: X₆₅ + X_{45 = 1 .}

Restricciones de nodos transbordo: Estas restricciones también denominadas restricciones de balance, tienen el objetivo de garantizar que todo el flujo que entra en el nodo de transbordo de igual manera debe salir, Estas restricciones se deben generar por cada uno de los nodos de transbordo de la red, en el caso del ejemplo, las restricciones de transbordo son:

Nodo 2: X₁₂₌ X₂₃ +X₂₄

Nodo 3: X₁₃+X₂₃₌ X₃₆+X₃₄

Nodo 4 :X₂₄+X₃₄= X₄₅

Nodo 6 :X₁₆+X₃₆ =X₆₅

Restricciones de no negatividad: Con estas restricciones se garantiza que las variables del modelo no van a tomar valores negativos haciendo que el modelo de infectable.

Una vez planteadas todas las restricciones del modelo que garantice que se va a cumplir el algoritmo de Dijkstra en la red, se procede a resolver el modelo mediante algún software que permita obtener la solución optima de dicho modelo