Anillo de fracciones

En álgebra conmutativa se denominan anillos de fracciones a unos objetos matemáticos que generalizan el concepto de cuerpo de fracciones. Dados un anillo conmutativo ${displaystyle A}$ y un subconjunto suyo no vacío que satisface ciertas condiciones -cuyos elementos llamaremos denominadores- se puede formar un anillo en el cual todos los denominadores tengan inverso multiplicativo. Este anillo, llamado anillo de fracciones de ${displaystyle A}$ es también conmutativo y además es unitario, aunque el propio ${displaystyle A}$ no lo sea.

Sea ${displaystyle A}$ un anillo conmutativo. Sea ${displaystyle {mathcal {D}}subset A}$ un subconjunto cualquiera que satisface las dos condiciones siguientes:

Consideremos en ${displaystyle A imes {mathcal {D}}}$ la relación binaria

Es fácil comprobar que ${displaystyle sim }$ es una relación de equivalencia y, por tanto, puede considerarse el conjunto cociente ${displaystyle (A imes {mathcal {D}})/sim }$ que denotaremos por ${displaystyle {mathcal {D}}^{-1}A;}$. Indicaremos por ${displaystyle a/s}$ o ${displaystyle { frac {a}{s}}}$ a la clase del elemento ${displaystyle (a,s)}$.

Las operaciones adición y producto dadas por

están bien definidas y dotan a ${displaystyle {mathcal {D}}^{-1}A}$ de una estructura de anillo conmutativo y unitario, que se denomina anillo de fracciones del anillo ${displaystyle A}$ respecto de ${displaystyle {mathcal {D}}}$: ${displaystyle ( {mathcal {D}}^{-1}A,+,cdot )}$.

Dado un elemento fijo ${displaystyle din {mathcal {D}}}$ cualquiera, podemos definir un homomorfismo de anillos dado por

La imagen ${displaystyle {frac {d'd}{d}}}$ de cada denominador ${displaystyle d'in {mathcal {D}}}$ tiene un inverso multiplicativo ${displaystyle { frac {d}{d'd}}}$ en ${displaystyle {mathcal {D}}^{-1}A}$.

No obstante, si el conjunto ${displaystyle {mathcal {D}}}$ contiene divisores de cero, p.e. el elemento ${displaystyle din {mathcal {D}}}$ siendo ${displaystyle bd=0}$, tendríamos

con lo que el homomorfismo anterior no sería inyectivo.^[1]​

En caso contrario, si el conjunto ${displaystyle {mathcal {D}}}$ no contiene divisores de cero, podemos embeber el anillo ${displaystyle A}$ de manera natural en el anillo de fracciones ${displaystyle {mathcal {D}}^{-1}A}$, que es de hecho el menor anillo que contiene a ${displaystyle A}$, salvo isomorfismo, en el que cada denominador ${displaystyle din {mathcal {D}}}$ tiene inverso.

Cuando el conjunto ${displaystyle {mathcal {D}}}$ contiene a todos los elementos que no son divisores de cero (y nada más) el anillo resultante se denomina anillo total de fracciones de ${displaystyle A}$. Si ${displaystyle A}$ es un dominio de integridad, el anillo total de fracciones es el cuerpo de fracciones de ${displaystyle A}$.