Aritmética de punto flotante
La representación de coma o punto flotante (en inglés floating point) es una forma de notación científica usada en los computadores con la cual se pueden representar números reales extremadamente grandes y pequeños de una manera muy eficiente y compacta, y con la que se pueden realizar operaciones aritméticas. El estándar actual para la representación en coma flotante es el IEEE 754.
Como la representación en coma flotante es casi idéntica a la notación científica tradicional, con algunos añadidos y algunas diferencias, primero se describirá la notación científica para entender cómo funciona, y luego se describirá la representación de coma flotante y las diferencias.
La notación científica se usa para representar números reales. Siendo r el número real a representar, la representación en notación científica está compuesta de tres partes:
Un signo en el coeficiente indica si el número real es positivo o negativo.
El coeficiente tiene una cantidad determinada de dígitos significativos, los cuales indican la precisión del número representado, cuantos más dígitos tenga el coeficiente, más precisa es la representación. Por ejemplo, π lo podemos representar en notación científica, con 3 cifras significativas, 3,14 x 100, o con 12 cifras significativas, 3,14159265359 x 100, teniendo en la segunda representación mucha más precisión que la primera.
El coeficiente es multiplicado por la base elevada a un exponente entero. En nuestro sistema decimal la base es 10. Al multiplicar el coeficiente por la base elevada a una potencia entera, lo que estamos haciendo es desplazando la coma del coeficiente tantas posiciones (tantos dígitos) como indique el exponente. La coma se desplaza hacia la derecha si el exponente es positivo, o hacia la izquierda si es negativo.
Ejemplo de cómo cambia un número al variar el exponente de la base:
Un ejemplo de número en notación científica es el siguiente:
El coeficiente es -1,23456789, tiene 9 dígitos significativos, y está multiplicado por la base diez elevada a la 3. El signo del coeficiente indica si el número real representado por la notación científica es positivo o negativo.
El valor de la potencia nos indica cuántas posiciones (cuántos dígitos) debe ser desplazada la coma del coeficiente para obtener el número real final. El signo de la potencia nos indica si ese desplazamiento de la coma debe hacerse hacia la derecha o hacia la izquierda. Una potencia positiva indica que el desplazamiento de la coma es hacia la derecha, mientras que un signo negativo indica que el desplazamiento debe ser hacia la izquierda. Si el exponente es cero, la coma no se desplaza ninguna posición. La razón de la denominación de "coma flotante", es porque la coma se desplaza o "flota" tantos dígitos como indica el exponente de la base, al cambiar el exponente, la coma "flota" a otra posición.
En el número representado en la notación científica anterior, -1,23456789 x 103, el exponente es 3 positivo, lo que indica que la coma del coeficiente -1,23456789 debe ser desplazada 3 posiciones hacia la derecha, dando como resultado el número real equivalente:
Abajo, una tabla con ejemplos de números reales de tres dígitos significativos y su representación en notación científica:
Como puede verse en la tabla, la representación en notación científica de los números reales es mucho más compacta cuando los números son muy grandes en magnitud, o cuando son de magnitud muy pequeña (cercanos a cero), por eso es muy usada en ciencia, donde hay que lidiar con cifras enormes como la masa del Sol, 1,98892 × 1030 kg, o muy pequeñas como la carga del electrón, -1,602176487 × 10-19 culombios, y también por eso se usa, en forma de coma flotante, para la representación de números reales en el computador.
Para la entrada y el despliegue de números en notación científica, los computadores y las calculadoras pueden representarlos de diferentes maneras. Por ejemplo, dependiendo del sistema, la velocidad de la luz, 2,99792458 x 108, puede representarse como sigue:
Un valor real se puede extender con una cantidad arbitraria de dígitos. La coma flotante permite representar solo una cantidad limitada de dígitos de un número real, solo se trabajará con los dígitos más significativos, (los de mayor peso) del número real, de tal manera que un número real generalmente no se podrá representar con total precisión sino como una aproximación que dependerá de la cantidad de dígitos significativos que tenga la representación en coma flotante con que se está trabajando. La limitación se halla cuando existen dígitos de peso menor al de los dígitos de la parte significativa. En dicho caso estos suelen ser redondeados, y si son muy pequeños son truncados. Sin embargo, y según el uso, la relevancia de esos datos puede ser despreciable, razón por la cual el método es interesante pese a ser una potencial fuente de error.
En la representación binaria de coma flotante, el bit de mayor peso define el valor del signo, 0 para positivo, 1 para negativo. Le siguen una serie de bits que definen el exponente. El resto de bits son la parte significativa.
Debido a que la parte significativa está generalmente normalizada, en estos casos, el bit más significativo de la parte significativa siempre es 1, así que no se representa cuando se almacena sino que es asumido implícitamente. Para poder realizar los cálculos ese bit implícito se hace explícito antes de operar con el número en coma flotante. Hay otros casos donde el bit más significativo no es un 1, como con la representación del número cero, o cuando el número es muy pequeño en magnitud y rebasa la capacidad del exponente, en cuyo caso los dígitos significativos se representan de una manera denormalizada para así no perder la precisión de un solo golpe sino progresivamente. En estos casos, el bit más significativo es cero y el número va perdiendo precisión poco a poco (mientras que al realizar cálculos este se haga más pequeño en magnitud) hasta que al final se convierte en cero.
Emplearemos varios ejemplos para describir la notación de coma flotante. Abajo tenemos 3 números en una representación de coma flotante de 16 bits. El bit de la izquierda es el signo, luego hay 6 bits para el exponente, seguidos de 9 bits para la parte significativa:
El signo es expresado por el bit de la izquierda, con 0 indicando que el número es positivo y 1 indicando que el número es negativo. En los ejemplos de arriba, el primer número es negativo y los dos últimos son positivos.
El exponente indica cuánto se debe desplazar hacia la derecha o hacia la izquierda la coma binaria de la parte significativa. En este caso, el exponente ocupa 6 bits capaces de representar 64 valores diferentes, es decir, es un exponente binario (de base 2) que va desde -31 a +32, representando potencias de 2 entre 2-31 y 2+32, indicando que la coma binaria se puede desplazar hasta 31 dígitos binarios hacia la izquierda (un número muy cercano a cero), y hasta 32 dígitos binarios hacia la derecha (un número muy grande).
Pero el exponente no se almacena como un número binario con signo (desde -31 hasta +32) sino como un entero positivo equivalente que va entre 0 y 63. Para ello, al exponente se le debe sumar un desplazamiento (bias), que en este caso de exponente de 6 bits (64 valores), es 31 (31 es la mitad de los 64 valores que se pueden representar, menos 1), y al final, el rango del exponente de -31 a +32 queda representado internamente como un número entre 0 y 63, donde los números entre 31 y 63 representan los exponentes entre 0 y 32, y los números entre 0 y 30 representan los exponentes entre -31 y -1 respectivamente:
La parte significativa, en este caso, está formada por 10 dígitos binarios significativos, de los cuales tenemos 9 dígitos explícitos más 1 implícito que no se almacena.
Esta parte significativa generalmente está normalizada y tendrá siempre un 1 como el bit más significativo. Debido a que, salvo ciertas excepciones, el bit más significativo del significante siempre es 1, para ahorrar espacio y para aumentar la precisión en un bit, este bit no se almacena, y por ello se denomina bit oculto o implícito, sin embargo, antes de realizar los cálculos este bit implícito debe convertirse en un bit explícito.
La notación genérica para la coma flotante descrita arriba, representa respectivamente los siguientes números reales (expresados en binario). El color rojo indica el bit más significativo, que cuando se almacena es implícito (ver arriba la parte significativa en la representación de coma flotante), pero cuando se hacen los cálculos, o cuando se muestra la información se vuelve explícito:
Para un tamaño determinado de bytes, la notación en coma flotante puede ser más lenta de procesar y es menos precisa que la notación en coma fija, ya que además de almacenar el número (parte significativa), también debe almacenarse el exponente, pero permite un mayor rango en los números que se pueden representar.
Debido a que las operaciones aritméticas que se realizan con números en coma flotante son complejas de realizar, muchos sistemas destinan un procesador especial para la realización específica de este tipo de operaciones, denominado unidad de coma flotante o tienen incorporados componentes especializados. En los casos donde no exista esta facilidad, o que el hardware de coma flotante no pueda realizar determinadas operaciones, se utilizan bibliotecas de software para realizar los cálculos.
Formatos binarios de los números en coma flotante del estándar IEEE 754 (2008).