Cónica generalizada

En matemáticas, una cónica generalizada es un objeto geométrico definido por una propiedad que es una generalización de alguna de las propiedades definitorias de una sección cónica clásica.

Una elipse puede definirse como el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos también del mismo plano (sus focos) es constante. La curva obtenida cuando el conjunto de dos puntos fijos es reemplazado por un conjunto finito arbitrario, pero fijo, de puntos en el plano se denomina n–elipse y puede considerarse como una elipse generalizada. Como una elipse es el conjunto equidistante de dos círculos, el conjunto equidistante de dos conjuntos arbitrarios de puntos en un plano se puede ver como una cónica generalizada.

En coordenadas cartesianas rectangulares, la ecuación y = x² representa una parábola. La ecuación generalizada y = x ^r, para r ≠ 0 y r ≠ 1, se puede tratar como la definición de una parábola generalizada. La idea de la cónica generalizada ha encontrado aplicaciones en la teoría de la aproximación y en procesos de optimización.^[1]​

Entre las varias formas posibles en que el concepto de una cónica se puede generalizar, el enfoque más utilizado es definirla como una generalización de la elipse. El punto de partida para este enfoque es considerar una elipse como una curva que satisface la "propiedad de dos focos": una elipse es una curva que es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos dados es constante. Los dos puntos son los focos de la elipse. La curva obtenida reemplazando el conjunto de dos puntos fijos por un conjunto finito arbitrario, pero fijo, de puntos en el plano se puede considerar como una elipse generalizada. Las cónicas generalizadas con tres focos se llaman elipses trifocales.

Esto se puede generalizar adicionalmente a las curvas que se obtienen como los lugares geométricos de los puntos que se sitúan de manera tal que la media ponderada de las distancias desde un conjunto finito de puntos es una constante. Todavía es posible una generalización adicional, suponiendo que los pesos asociados a las distancias pueden ser de signo arbitrario, es decir, positivos o negativos.

Finalmente, también puede eliminarse la restricción de que el conjunto de puntos fijos, llamado conjunto de focos de la cónica generalizada, sea finito. Se puede suponer que el conjunto es finito o infinito. En el caso infinito, la media aritmética ponderada tiene que ser reemplazada por una integral apropiada. Las cónicas generalizadas en este sentido también se llaman polielipses, ovoelipses o elipses generalizadas. Dado que dichas curvas fueron estudiadas por el matemático alemán Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (1651-1708) también se las conoce como óvalos de Tschirnhaus.^[2]​ Dichas generalizaciones también fueron analizadas por René Descartes^[3]​ y por James Clerk Maxwell.^[4]​

René Descartes (1596-1650), padre de la geometría analítica, en su obra La Geometrie publicada en 1637, dedicó una sección de aproximadamente 15 páginas para analizar lo que él había llamado elipses bifocales. Definió un óvalo bifocal como el lugar geométrico de un punto P que se mueve en un plano tal que ${displaystyle AP+lambda BP=c}$ donde A y B son puntos fijos en el plano y λ y c son constantes que pueden ser positivas o negativas. Descartes había introducido estos óvalos, que ahora se conocen como óvalos cartesianos, para determinar las superficies de una lente de modo que los rayos se encuentren en el mismo punto tras refractarse. Descartes también había identificado estos óvalos como generalizaciones de las cónicas centrales, porque para ciertos valores de λ estos óvalos se reducen a las cónicas centrales familiares, a saber, el círculo, la elipse o la hipérbola.^[3]​

Los óvalos multifocales fueron redescubiertos por James Clerk Maxwell (1831-1879) cuando todavía era un estudiante de escuela. A la temprana edad de 15 años, Maxwell escribió un artículo científico sobre estos óvalos con el título "Observaciones sobre figuras circunscriptas que tienen una pluralidad de focos y radios de varias proporciones" y se lo presentó al profesor J.D. Forbes en una reunión de la Royal Society de Edimburgo en 1846. El profesor J.D. Forbes también publicó un informe sobre el documento en las Actas de la citada sociedad.^[4]​^[5]​ En su artículo, aunque Maxwell no utilizó el término "cónica generalizada", estaba considerando curvas definidas por condiciones que fueron generalizaciones de la condición definitoria de una elipse.

Un óvalo multifocal es una curva que se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que

donde A₁, A₂,. . . , A_n son puntos fijos en un plano y λ₁, λ₂,. . . , λ_n son números racionales fijos y c es una constante. Maxwell ideó métodos simples utilizando alfileres, lápiz y una cuerda para dibujar tales óvalos.

El método para dibujar el óvalo definido por la ecuación ${displaystyle AP+2BP=c}$ ilustra el enfoque general adoptado por Maxwell para representar tales curvas:

Su disposición es más evidente en su descripción del método para dibujar un óvalo trifocal definido por una ecuación de la forma ${displaystyle AP+BP+CP=c}$:

La figura resultante sería un sector de una elipse trifocal. Las posiciones de la cuerda pueden tener que ajustarse para obtener el óvalo completo.

En los dos años posteriores a la presentación de su trabajo en la Royal Society de Edinburgo, Maxwell desarrolló sistemáticamente las propiedades geométricas y ópticas de estos óvalos.^[5]​

Como un caso especial del enfoque de Maxwell, considérese la n-elipse, el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que se cumple la siguiente condición:

Dividiendo por n y reemplazando c/n por c, esta condición definitoria se puede expresar como

Esto sugiere una interpretación simple: la cónica generalizada es una curva tal que la distancia promedio de cada punto P en la curva del conjunto {A₁, A₂,. . . , A_n} tiene el mismo valor constante. Esta formulación del concepto de cónica generalizada se ha ampliado aún más de varias maneras diferentes.

La formulación de la definición de una cónica generalizada en el caso más general, cuando la cardinalidad del conjunto focal es infinita, implica las nociones de conjuntos medibles e integración de Lebesgue. Todos estos supuestos han sido analizados por diferentes autores y las curvas resultantes han sido estudiadas con especial énfasis en sus aplicaciones.

Sea ${displaystyle d:R^{n} ightarrow R}$ un espacio métrico y ${displaystyle mu }$ una medida en un conjunto compacto ${displaystyle Ksubset R^{n}}$ con ${displaystyle mu (K)>0}$. La función cónica generalizada no ponderada ${displaystyle f_{K}}$ asociada con ${displaystyle K}$ es

donde ${displaystyle g:R^{n} imes R^{n} ightarrow R}$ es una función central asociada con ${displaystyle f_{K}}$. ${displaystyle K}$ es el conjunto de focos. Los conjuntos de niveles ${displaystyle {xin R^{n}:f_{K}(x)<c}}$ se llaman generalizados.^[6]​

Dada una cónica, al elegir un foco de la cónica como polo y la línea a través del polo dibujado en paralelo a la directriz de la cónica como eje polar, las coordenadas polares de la sección cónica se pueden escribir de la siguiente forma:

Aquí e es la excentricidad de la cónica y d es la distancia de la directriz desde el polo. Tom Mike Apostol y Mamikon A. Mnatsakanian en su estudio de curvas dibujadas en las superficies de conos circulares rectos introdujeron una nueva clase de curvas que denominaron cónicas generalizadas.^[10]​^[11]​ Son curvas cuyas ecuaciones polares son similares a las ecuaciones polares de las cónicas comunes y las cónicas ordinarias aparecen como casos especiales de estas cónicas generalizadas.

Para las constantes reales r₀ ≥ 0, λ ≥ 0 y k, una curva plana descrita por la ecuación polar

se llama cónica generalizada.^[11]​ La cónica se denomina elipse, parábola o hipérbola generalizada según λ < 1, λ = 1 o λ > 1.

En 1996, Ruibin Qu introdujo una nueva noción de cónica generalizada como herramienta para generar aproximaciones a otras curvas.^[12]​ El punto de partida para esta generalización es el resultado de que la secuencia de puntos ${displaystyle {P_{k}:k=0,1,2,ldots }}$ definida por

se sitúa sobre una cónica. Con este enfoque, las cónicas generalizadas se definen como sigue.

Una cónica generalizada es una curva tal que si los dos puntos ${displaystyle P_{0}}$ y ${displaystyle P_{1}}$ están en ella, entonces los puntos ${displaystyle {P_{k}:k>1}}$ generados por la relación recursiva

para algunos ${displaystyle alpha }$ y ${displaystyle eta }$ que satisfacen las relaciones

también están en ella.

Sea (X, d) un espacio métrico, y A un subconjunto no vacío de X. Si x es un punto en X, la distancia entre x y A se define como d (x, A) = inf {d (x, a): a en A}. Si A y B son subconjuntos no vacíos de X, entonces el conjunto equidistante determinado por A y B se define como el conjunto {x en X:d(x, A) = d(x, B)}. Este conjunto equidistante se denota por {A = B}. El término cónica generalizada se usa para denotar un conjunto equidistante general.^[13]​

Las cónicas clásicas se pueden interpretar como conjuntos equidistantes. Por ejemplo, si A es un punto único y B es una línea recta, entonces el conjunto equidistante {A = B} es una parábola. Si A y B son círculos tales que A está completamente dentro de B, entonces el conjunto equidistante {A = B} es una elipse. Por otro lado, si A se encuentra completamente fuera de B, el conjunto equidistante {A = B} es una hipérbola.

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