Característica (matemática)

En álgebra abstracta, la característica de un anillo ${displaystyle R}$ es definida como el entero positivo más pequeño ${displaystyle n}$ tal que ${displaystyle 1_{R}+{overset {n{ ext{ sumandos}}}{ldots }}+1_{R}=0}$. Si no existe tal ${displaystyle n}$, se dice que la característica de ${displaystyle R}$ es 0.

De forma alternativa y equivalente, podemos definir la característica del anillo ${displaystyle R}$ como el único número natural ${displaystyle n}$ tal que ${displaystyle R}$ contenga un subanillo isomorfo al anillo cociente ${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }$.

Si ${displaystyle R}$ y ${displaystyle S}$ son anillos y existe un homomorfismo de anillos

entonces la característica de ${displaystyle S}$ divide la característica de ${displaystyle R}$. Esto puede a veces ser utilizado para excluir la posibilidad de cierto homomorfismo de anillos. El único anillo con característica 1 es el anillo trivial, el cual contiene un solo elemento 0=1. Si el anillo no trivial ${displaystyle R}$ no tienen ningún divisor de cero, entonces su característica es 0 o primo. En particular, esto se aplica a todo cuerpo, a todo dominio de integridad y a todo anillo de división. Todo anillo de característica 0 es infinito.

El anillo ${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }$ de los enteros módulo ${displaystyle n}$ tiene característica ${displaystyle n}$. Si ${displaystyle R}$ es un subanillo de ${displaystyle S}$, entonces ${displaystyle R}$ y ${displaystyle S}$ tienen la misma característica. Por ejemplo, si ${displaystyle q(X)}$ es un polinomio primo con coeficientes en el cuerpo ${displaystyle mathbb {Z} /pmathbb {Z} }$ donde ${displaystyle p}$ es primo, entonces el anillo factor ${displaystyle (mathbb {Z} /pmathbb {Z} )[X]/(q(X))}$ es un cuerpo de característica ${displaystyle p}$. Como los números complejos contienen a los racionales, su característica es 0.

Si un anillo conmutativo ${displaystyle R}$ tiene característica prima ${displaystyle p}$, entonces se tiene que ${displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$ para todo elemento ${displaystyle x}$ e ${displaystyle y}$ en ${displaystyle R}$.

La aplicación

define un homomorfismo de anillos

Este es llamado el endomorfismo de Frobenius. Si ${displaystyle R}$ es un dominio de integridad este es inyectivo.

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