El Compendio de cálculo por reintegración y comparación (del árabe: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة, al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala) es un libro histórico de matemáticas escrito en árabe entre 813 y 833 d. C. por el matemático y astrónomo persa Al-Juarismi, perteneciente a la Casa de la sabiduría de Bagdad, capital del califato abasí en ese tiempo.
En esta obra, Al-Juarismi expone los cimientos del álgebra, siendo el primero en estudiar sistemáticamente la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. La palabra álgebra se deriva de una de las operaciones básicas con ecuaciones (al-ğabr) descritas en este libro.
Puesto que no se cita a ningún autor anterior, no es claro qué trabajos previos fueron usados por Al-Juarismi. Los historiadores de las matemáticas se pronuncian basados en el análisis textual del libro así como en el cuerpo de conocimientos general del mundo musulmán contemporáneo. Más certeras son las conexiones con la matemática india, dado que Al-Juarismi es autor de otro libro titulado Kitāb al-Jamʿ wa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind, literalmente: "El libro de adición y sustracción según el cálculo indio", en el que discute el sistema de numeración indo-arábigo.
El libro es un compendio y una extensión de las reglas conocidas de resolución de ecuaciones cuadráticas y otros problemas. Fue introducido en el Mundo Occidental gracias a la traducción al latín de Robert of Chester (a mediados del s. XII) titulada Liber algebrae et almucabola, y dio origen, en distintos idiomas, a las palabras álgebra (derivado de al-jabr) y algoritmo (derivado de Al-Juarismi).
El Compendio tuvo gran influencia durante muchos siglos. Esta influencia es debida esencialmente a la presentación y a la organización del libro, ya que en él se exponen de manera a la vez clara y precisa un conjunto de métodos de resolución de las ecuaciones de segundo grado.
Siguiendo la tradición de la época, la Introducción comienza con alabanzas a Dios, al Profeta y al Califa Mamun. Enseguida, Al-Juarismi presenta el conjunto de la obra, indicando que le ha sido comandado por el Califa: se trata de un compendio o manual, destinado a «hacer más claro lo que era oscuro y [...] facilitar lo que era difícil» con el objeto de resolver problemas concretos de cómputo de herencias, medida de tierra o comercio.
En un primer tiempo, el autor expone el sistema de numeración decimal de números, y a continuación define los objetos del álgebra. Considera tres tipos de objetos: los números (escritos con palabras, designados con el nombre de la unidad monetaria dirham), las raíces (lo que se escribiría como x) y los cuadrados (lo que hoy se escribiría x2).
Al-Juarismi clasifica las ecuaciones cuadráticas en seis tipos básicos y provee de métodos algebraicos y geométricos para resolver las más sencillas, sin utilizar notaciones abstractas: «el álgebra de Al-Juarismi es meramente retórica, sin ninguno de los recursos que se encuentran en la Arithmetica griega de Diofanto o en los trabajos de Brahmagupta. ¡Incluso los números están escritos con palabras en lugar de símbolos!» Los seis tipos, en notación moderna, son:
Los matemáticos del periodo islámico, a diferencia de los hindúes, no consideraban números negativos, de aquí que las ecuaciones del tipo bx + c = 0 no aparezcan en la clasificación, pues no poseen soluciones positivas si todos los coeficientes son positivos. Análogamente, los tipos 4, 5 y 6, que parecen equivalentes desde la perspectiva moderna, eran distinguidos dado que los coeficientes debían ser todos positivos.
La operación al-ğabr (en escritura árabe: 'الجبر'), que significa "compleción" o "restauración", consiste en pasar una cantidad deficitaria de un lado de la ecuación al otro. En uno de los ejemplos de Al-Juarismi (en notación moderna), "x2 = 40x − 4x2" es transformado por al-ğabr en "5x2 = 40x". La aplicación repetida de esta regla elimina las cantidades negativas de los cálculos.
Al-Muqabala (en escritura árabe: 'المقابله'), se entiende como "balanceo" o "comparación"; consiste en la sustracción de la misma cantidad positiva de ambos lados: "x2 + 5 = 40x + 4x2" se convierte en "5 = 40x + 3x2". Aplicaciones sucesivas de esta regla logra que las cantidades de cada tipo ("cuadrado"/"raíz"/"número") aparezcan en la ecuación a lo sumo una vez, lo que demuestra que, al restringirse a coeficientes y soluciones positivas, solo existen seis tipos distintos solubles del problema.
La última parte del libro discute ejemplos prácticos de aplicación de estas reglas, problemas aplicados a la medida de áreas y volúmenes y problemas que involucran cómputos de derecho musulmán de sucesión. Ninguno de estos capítulos requiere de conocimientos sobre resolución de ecuaciones cuadráticas.
Los sucesores de Al-Juarismi perpetuaron y amplificaron el tratado en otras obras a veces con el mismo título.Gerardo de Cremona lo traduce en el siglo XII.
Solo se conserva una copia en árabe. Se encuentra en la Universidad de Oxford y está datada de 1361. En 1831, Frederic Rosen publica una traducción al inglés basado en este manuscrito. En el prefacio, advierte que la escritura es «simple y legible», pero que los signos diacríticos árabes han sido omitidos, por lo que la comprensión de ciertos pasajes resulta difícil.
La novedad de los conceptos estudiados puede medirse por la dificultad de la traducción del título. Algunas enciclopedias recogen al-jabr como sinónimo de reducción. Dahan-Dalmédico y Pfeiffer, por su parte, escriben «manual de cálculo de al-jabr y al-muqabala».
Notas de R. Rashed y Angela Armstrong:
Notas de J. J. O'Connor y E. F. Robertson:
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