x
1

Conexidad



¿Dónde nació Conexidad?

Conexidad nació en X.


Un conjunto conexo es un subconjunto de un espacio topológico (donde es la colección de conjuntos abiertos del espacio topológico) que no puede ser expresado como unión disjunta de dos conjuntos abiertos no vacíos de la topología.

Intuitivamente, un conjunto conexo es el que aparece como una sola pieza, que no se puede 'dividir' o 'partir'. En el caso de que un conjunto no sea conexo, se dice que es disconexo.

es un conjunto conexo si y sólo si

implica

Nótese que si y cumple lo anterior, entonces decimos que es un espacio topológico conexo.

Bajo estas definiciones, se tiene que es conexo si y solamente si es un espacio topológico conexo para la topología traza.

Vamos a definir la conexividad en forma negativa: Un conjunto S se llama conexo, si no existe una partición del mismo en dos conjuntos no vacíos y disjuntos S 1 y S 2, ninguno de los cuales contiene puntos de acumulación del otro. Una hoja de papel es un conjunto conexo, al cortarla en dos partes se ve que ningún punto de una parte es punto de acumulación de la otra.

Sea provisto de la topología usual , además un intervalo de y subconjuntos abiertos de tales que es parte de la unión de y . Entonces . En este caso es un subconjunto conexo de la recta real.

Se cumple que si es un espacio topológico conexo, cualquier espacio homeomorfo a él también lo será. Esta propiedad nos da una caracterización muy útil de los conjuntos conexos: es un conjunto conexo si y solamente si para toda función continua, se cumple que es una función constante, donde a se le dota de la topología discreta.

Otra propiedad interesante de los conjuntos conexos es la siguiente: Si es una familia de espacios topólogicos conexos (con un conjunto de índices de cualquier cardinalidad), entonces también es conexo, donde es la topología producto.

Por último, si no es conexo, es decir, si existen abiertos disjuntos no vacíos tales que su unión es , es fácil ver que cada abierto será el complemento del otro, luego serán complementos de un abierto, y por ende, serán cerrados. Es decir, serán conjuntos clopen. Por esto, otra manera de caracterizar la conexidad es decir: será conexo si y sólo si los únicos clopen son y el vacío (donde ambos conjuntos son siempre clopen).

Diremos que un conjunto es conexo por arcos o arco conexo si dados existe una función continua llamada arco tal que y .

La conexidad por arcos implica conexidad, pero el recíproco no es cierto en general. Un contraejemplo muy típico es el llamado peine del topólogo, , donde y . es conexo, pero no conexo por arcos.

Ser conexo por arcos no es una propiedad hereditaria (esto es, si un conjunto es conexo por arcos, cualquier subconjunto de este no es necesariamente conexo por arcos). Sin embargo, ser conexo por arcos es una propiedad topológica (es decir, la imagen mediante una aplicación continua de un conjunto conexo por arcos es conexa por arcos).

Dado un espacio topológico se llama componente conexa, a cada uno de los conjuntos maximales conexos. Es decir un subconjunto es un componente conexo si se cumplen estas dos condiciones:

Se cumple que los componentes conexos de forman una partición de . Si es conexo, se tiene que es su única componente conexa.



Escribe un comentario o lo que quieras sobre Conexidad (directo, no tienes que registrarte)


Comentarios
(de más nuevos a más antiguos)


Aún no hay comentarios, ¡deja el primero!