Conjunto conexo

Un conjunto conexo es un subconjunto ${displaystyle Csubseteq X}$ de un espacio topológico ${displaystyle (X,{mathcal {T}}),}$ (donde ${displaystyle {mathcal {T}},}$ es la colección de conjuntos abiertos del espacio topológico) que no puede ser expresado como unión disjunta de dos conjuntos abiertos no vacíos de la topología.

Intuitivamente, un conjunto conexo es el que aparece como una sola pieza, que no se puede 'dividir' o 'partir'. En el caso de que un conjunto no sea conexo, se dice que es disconexo.

${displaystyle Csubseteq X}$ es un conjunto conexo si y sólo si

${displaystyle A,Bin {mathcal {T}},Acap Bcap C=emptyset ,Csubseteq Acup B}$ implica ${displaystyle Csubseteq Avee Csubseteq B}$

Nótese que si ${displaystyle C=X}$ y cumple lo anterior, entonces decimos que ${displaystyle (X,{mathcal {T}}),}$es un espacio topológico conexo.

Bajo estas definiciones, se tiene que ${displaystyle Csubseteq X}$ es conexo si y solamente si es un espacio topológico conexo para la topología traza.

Vamos a definir la conexividad en forma negativa: Un conjunto S se llama conexo, si no existe una partición del mismo en dos conjuntos no vacíos y disjuntos S ₁ y S ₂, ninguno de los cuales contiene puntos de acumulación del otro. Una hoja de papel es un conjunto conexo, al cortarla en dos partes se ve que ningún punto de una parte es punto de acumulación de la otra.

Sea ${displaystyle mathbb {R} }$ provisto de la topología usual ${displaystyle T_{u}}$, además ${displaystyle J}$ un intervalo de ${displaystyle mathbb {R} ,M}$ y ${displaystyle N}$ subconjuntos abiertos de ${displaystyle mathbb {R} }$ tales que ${displaystyle J}$ es parte de la unión de ${displaystyle M}$ y ${displaystyle N,,,Jcap Mcap N=emptyset }$. Entonces ${displaystyle Jcap M=emptyset ,,vee Jcap N=emptyset }$. En este caso ${displaystyle J}$ es un subconjunto conexo de la recta real.

Se cumple que si ${displaystyle (X,{mathcal {T}}),}$ es un espacio topológico conexo, cualquier espacio homeomorfo a él también lo será. Esta propiedad nos da una caracterización muy útil de los conjuntos conexos: ${displaystyle Csubseteq X}$ es un conjunto conexo si y solamente si para toda función ${displaystyle fcolon C o {0,1} }$ continua, se cumple que ${displaystyle f}$ es una función constante, donde a ${displaystyle {0,1}}$ se le dota de la topología discreta.

Otra propiedad interesante de los conjuntos conexos es la siguiente: Si ${displaystyle ({X_{i},{mathcal {T}}_{i}})_{iin I}}$ es una familia de espacios topólogicos conexos (con ${displaystyle I}$ un conjunto de índices de cualquier cardinalidad), entonces ${displaystyle left(prod _{iin I}X_{i},{mathcal {T}} ight)}$ también es conexo, donde ${displaystyle {mathcal {T}}}$ es la topología producto.

Por último, si ${displaystyle X}$ no es conexo, es decir, si existen abiertos ${displaystyle U,V}$ disjuntos no vacíos tales que su unión es ${displaystyle X}$, es fácil ver que cada abierto será el complemento del otro, luego serán complementos de un abierto, y por ende, serán cerrados. Es decir, serán conjuntos clopen. Por esto, otra manera de caracterizar la conexidad es decir: ${displaystyle X}$ será conexo si y sólo si los únicos clopen son ${displaystyle X}$ y el vacío (donde ambos conjuntos son siempre clopen).

Diremos que un conjunto ${displaystyle X}$ es conexo por arcos o arco conexo si dados ${displaystyle x_{1},x_{2}in X}$ existe una función continua llamada arco ${displaystyle alpha :[0,1] ightarrow X}$ tal que ${displaystyle alpha (0)=x_{1}}$ y ${displaystyle alpha (1)=x_{2}}$.

La conexidad por arcos implica conexidad, pero el recíproco no es cierto en general. Un contraejemplo muy típico es el llamado peine del topólogo, ${displaystyle X=Acup B}$, donde ${displaystyle A={(0,1)}}$ y ${displaystyle B=left{(lambda ,0):lambda in (0,1] ight}cup left{({frac {1}{n}},mu ):nin mathbb {N} { ext{ y }}mu in [0,1] ight}}$. ${displaystyle X}$ es conexo, pero no conexo por arcos.

Ser conexo por arcos no es una propiedad hereditaria (esto es, si un conjunto es conexo por arcos, cualquier subconjunto de este no es necesariamente conexo por arcos). Sin embargo, ser conexo por arcos es una propiedad topológica (es decir, la imagen mediante una aplicación continua de un conjunto conexo por arcos es conexa por arcos).

Dado un espacio topológico ${displaystyle (X,{mathcal {T}}),}$ se llama componente conexa, a cada uno de los conjuntos maximales conexos. Es decir un subconjunto ${displaystyle Ysubset X,}$ es un componente conexo si se cumplen estas dos condiciones:

Se cumple que los componentes conexos de ${displaystyle X}$ forman una partición de ${displaystyle X}$. Si ${displaystyle X}$ es conexo, se tiene que ${displaystyle X}$ es su única componente conexa.

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