Convexidad

La convexidad (del latín convexĭtas, -ātis) de una curva o una superficie, es la zona que se asemeja al exterior de una circunferencia o una superficie esférica, es decir, que tiene su parte sobresaliente dirigida al observador. Es el concepto opuesto a la 'concavidad'.

Una parte C de un espacio vectorial real es convexa si para cada par de puntos de C, el segmento que los une está totalmente incluido en C; es decir, un conjunto es convexo si se puede ir de cualquier punto a cualquier otro en línea recta, sin salir del mismo.

Un conjunto ${displaystyle Csubset R^{n}}$es convexo si para todo ${displaystyle a,bin C}$:

Con otra expresión, ${displaystyle forall tin [0,1]}$:

Nótese que en esta fórmula, la suma de los coeficientes ${displaystyle (1-t)}$ y ${displaystyle t}$ es ${displaystyle 1}$, por lo tanto el punto así definido no depende del origen del sistema de coordenadas.

En un conjunto no convexo cada segmento que muestra la no convexidad tiene forzosamente que atravesar por lo menos dos veces (en E´y F´) el borde o la frontera del conjunto ${displaystyle C}$, ${displaystyle partial C}$, definida como

donde ${displaystyle C^{circ }}$ es definido como el interior de ${displaystyle C}$. Por tanto la convexidad depende esencialmente de la forma del borde del conjunto, y la definición equivale a

donde ${displaystyle langle a,b angle in mathbb {R} }$ denota el producto escalar usual en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ entre ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$. Intuitivamente, esto dice que, por cada punto en el borde del conjunto ${displaystyle C}$ (ósea, cada punto ${displaystyle ain partial C}$) existe un vector ${displaystyle ell }$ que divide el plano entero, y que cada punto ${displaystyle bin C}$ existe solamente en el hiperplano con ángulo que subtiende a ese vector trasladado por ${displaystyle a}$.

En el caso de una frontera diferenciable (sin puntos angulosos) se pueden considerar sus tangentes (ya que existe un único vector normal a la superficie), y resulta bastante intuitivo que los convexos se caracterizan por hallarse enteramente del mismo lado de cada tangente; es decir que las tangentes nunca atraviesan C (como en el punto A de la figura). Esta propiedad sigue cierta en presencia de puntos angulosos, como en el caso de los polígonos convexos.

Se establece la equivalencia de estas dos caracterizaciones considerando que una tangente (en A por ejemplo) es la posición límite de las cuerdas [AA'] con A' acercándose indefinidamente de A, en el borde de C. El segmento [AA´] está en C mientras que el esto de la recta (AA') está fuera (por el absurdo: si se encuentra un punto B de C en la recta (AA´), fuera de [AA'], entonces el segmento [AB], exterior a C, contradice su convexidad).

Se llama envolvente convexa de un conjunto dado C al menor (por inclusión) conjunto convexo que contiene a C (es fácil ver que siempre existe). En la figura, la envoltura convexa de la forma azul oscuro es todo el dominio azul (es decir la unión del conjunto original azul oscuro con el dominio azul claro), y la envoltura convexa de los cinco puntos verde oscuro es el polígono verde claro (incluyendo los puntos, por supuesto). En particular, se define

y, como previamente dicho, se nota que, si ${displaystyle Csubseteq P}$, y ${displaystyle P}$ es un conjunto convexo, entonces ${displaystyle Csubseteq { extbf {conv}}(C)subseteq P}$.

Se establece con facilidad que la envoltura convexa es el conjunto de todos los baricentros positivos (es decir con coeficientes todos positivos) de los puntos del conjunto inicial.

En la figura, C es un baricentro positivo de A y B porque está en el segmento [AB], y G es otro tanto de D,E y F, porque se encuentra en el triángulo DEF.

Se dice que una función real, definida sobre un intervalo es convexa si el dominio del plano situado por encima de su curva (en gris en la figura) lo es. Sin sorpresa, las consideraciones anteriores se aplican: Solo importa la frontera del dominio, es decir la curva de ecuación ${displaystyle y=f(x)}$. La convexidad se expresa así: Para cualquier par ${displaystyle (x,x')}$ en el intervalo ${displaystyle I}$, y cualquier

Ejemplos: la hipérbola y = ${displaystyle 1/x}$ (con x > 0), las parábolas y = ax² + bx + c, con a > 0 y x real variable, y la función exponencial y = e^x. Si la función f es derivable entonces la convexidad equivale a la condición siguiente:

${displaystyle f'(x)leq {frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}leq f'(x')}$

que significa que la pendiente de la cuerda entre dos puntos x y x' está contenida entre los valores extremos de la derivada. Esto equivale al que la derivada sea creciente, en todo el dominio de f . Si f es dos veces derivable, lo anterior significa que la derivada segunda es positiva: f"(x) ≥ 0.

Es fácil verificar que los tres ejemplos anteriores son convexos:

${displaystyle left({frac {1}{x}} ight)^{prime prime }={frac {2}{x^{3}}}}$

positivo cuando x > 0; (ax² + bx + c)" = 2a > 0; y (e^x)" = e^x, siempre positivo.

Equivalentemente, la convexidad de una función puede ser establecida usando lo previamente establecido. Definimos un conjunto

${displaystyle { extbf {epi}},f={(x,t)in mathbb {R} ^{n+1},vert ,f(x)leq t}}$

llamado el epigrafo de la función ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} }$. En este caso, una función es convexa solamente si su epigrafo es un conjunto convexo.

La concavidad y la convexidad son definiciones arbitrarias y opuestas. En particular, una función ${displaystyle f}$ es cóncava solamente si su inverso aditivo es convexo; es decir, ${displaystyle f}$ es cóncava solamente si ${displaystyle -f}$ es convexa.

Usando esta definición, solamente funciones afines son tanto cóncavas como convexas. En particular, no es difícil comprobar que si se tiene una función ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} }$ que satisface

${displaystyle f(alpha x+eta y)=alpha f(x)+eta f(y);,,alpha ,eta in mathbb {R} ;,x,yin mathbb {R} ^{n}}$

cuando ${displaystyle alpha +eta =1}$, entonces ambas ${displaystyle f}$ y ${displaystyle -f}$ son funciones convexas. El caso contrario también es cierto: si una función es tanto cóncava como convexa, entonces es afín; esta observación se desprende directamente de la definición de convexidad.

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