Cuadrado mágico
Un cuadrado mágico es una tabla de grado primario donde se dispone de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.
Los cuadrados mágicos actualmente no tienen ninguna aplicación técnica conocida que se beneficie de estas características, por lo que siguen recluidos al divertimento, a la curiosidad y al pensamiento matemático. Aparte de esto, en las ciencias ocultas y más concretamente en la magia tienen un lugar destacado. En algunos tipos de técnicas orientales, como en el caso del Ba Gua y del Feng Shui, los cuadrados mágicos tienen gran importancia, tanto por razones filosóficas y numerológicas como prácticas, por ejemplo, al momento de determinar orientaciones y espacios específicos.
Consideremos la sucesión matemática 1, 2, 3, 4... 36 (cuadrado de orden 6), y dispongamos los números ordenadamente en dos series dispuestas en zig-zag:
Resulta evidente que cualquier par de números alineados verticalmente suma lo mismo ya que a medida que nos desplazamos por las columnas, en la fila superior se añade una unidad, mientras que en la fila inferior se resta. La suma es en todos los casos la de los números extremos:
Si disponemos el conjunto de números en seis filas (ver tabla a la derecha), fácilmente se puede apreciar que las sumas en las distintas columnas han de ser necesariamente iguales, ya que los números se encuentran agrupados por pares tal y como estaban en el primer caso (compárese los pares de filas 1.ª-6ª, 2ª-5ª y 3ª-4ª con la disposición original). Ahora sin embargo, por ser tres los pares de filas (n/2), la suma será:
cantidad que se denomina constante mágica, y que en nuestro caso es n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.
Salta a la vista que el cuadro anterior no es un cuadrado mágico, ya que al disponerse los números de forma consecutiva, las sumas de las cifras de cada fila son cada vez mayores. Sin embargo hemos encontrado seis series de números comprendidos entre 1 y 36, de forma tal que, sin repetirse ninguno, las sumas de las series son la constante mágica. Si en vez de la disposición anterior colocamos los números consecutivamente, obtenemos una disposición en la que los números de la diagonal principal se pueden escribir de la forma (a-1)×n + a.
Calculando la suma, sabiendo que las filas a van de 1 a n:
De nuevo la constante mágica. Más aún, cualquier serie de seis valores en los que no haya dos de la misma fila o columna sumará la constante mágica. Escribiendo el término i, j de la matriz como (i-1)×n + j, y tomando 6 términos cualesquiera con la condición de que ni i, ni j se repitan y varíen de 1 hasta n, la ecuación resultante será exactamente la misma que en el caso anterior y la suma, por tanto, la constante mágica.
Como se puede demostrar, la cantidad de series posibles de n números que cumplan la condición anterior es n!, 720 en cuadrados de orden 6, y ni siquiera son todas las posibles, ya que antes habíamos obtenido seis que no están incluidas entre ellas.
De orden 3 existe un único cuadrado mágico (las distintas variaciones se pueden obtener por rotación o reflexión), en 1693 Bernard Frenicle de Bessy estableció que hay 880 clases de cuadrados mágicos de orden 4. Posteriormente se ha encontrado que existen 275.305.224 cuadrados mágicos de orden 5; el número de cuadrados de mayor orden se desconoce aún pero según estimaciones de Klaus Pinn y C. Wieczerkowski realizadas en 1998 mediante los métodos de Montecarlo y de mecánica estadística existen (1,7745 ± 0,0016) × 1019 cuadrados de orden 6 y (3,7982 ± 0,0004) × 1034 cuadrados de orden 7.
Por lo que respecta a órdenes inferiores, es evidente que de orden uno existe un único cuadrado mágico, 1 , mientras que de orden 2 no existe ninguno, lo que se puede demostrar considerando el cuadrado mágico a, b, c, d de la figura; para que tal disposición fuera un cuadrado mágico deberían cumplirse las siguientes ecuaciones (siendo M la constante mágica o cualquier cantidad, si se quiere):
escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial y buscando el orden de la matriz de coeficientes, se obtiene que es tres, mientras que el número de incógnitas es cuatro, de modo que el sistema solo tiene la solución trivial a = b = c = d = M/2 siendo imposible construir un cuadrado mágico en el que las cuatro cifras sean distintas.
Resumiendo: la cantidad de diferentes n×n cuadrados mágicos para n entre 1 y 5, sin contar rotaciones y reflexiones, son:
Para s = 6 se ha estimado que hay aproximadamente 1.7745×1019.
The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei).
Compilado por Bao Yunlong en el siglo XIII,
edición de la Dinastía Ming, 1457-1463.
Muchos de los aspectos históricos de los cuadrados mágicos no se conservan. Y al ser comprobables, estos aspectos resultan innecesarios. El cuadro Melancolía I 1514 de Alberto Durero, sigue existiendo, lo mismo que el edificio de la Sagrada Familia.
En la antigua China ya se conocían los cuadrados mágicos desde el III milenio a. C., como dice el Lo Shu. Según la leyenda, un cierto día se produjo el desbordamiento de un río; la gente, temerosa, intentó hacer una ofrenda al dios del río Lo (uno de los desbordados) para calmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacían, aparecía una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla, hasta que un chico se dio cuenta de las peculiares marcas del caparazón de la tortuga, de este modo pudieron incluir en su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el dios satisfecho y volviendo las aguas a su cauce.
Igualmente conocieron combinaciones de esta clase los indios, egipcios, árabes y griegos. A tales cuadrados, las diferentes culturas les han atribuido propiedades astrológicas y adivinatorias portentosas grabándose con frecuencia en talismanes. Así, como recoge Cornelius Agrippa en De oculta philosophia libri tres (1533), el cuadrado de orden 3 (15) estaba consagrado a Saturno, el de 4 (34) a Júpiter, el de 5 (65) a Marte, el del 6 (111) al Sol, el del 7 (175) a Venus, el del 8 (260) a Mercurio y el de 9 (369) a la Luna; idéntica atribución puede encontrarse en la astrología hindú.
La introducción de los cuadrados mágicos en occidente se atribuye a Manuel Moscópulo en torno al siglo XIV, autor de un manuscrito en el que por vez primera se explican algunos métodos para construirlos. Con posterioridad, el estudio de sus propiedades, ya con carácter científico, atrajo la atención de grandes matemáticos que dedicaron al asunto obras diversas a pesar de la manifiesta inutilidad práctica de los cuadrados mágicos. Entre ellos cabe citar a Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frénicle, Bachet, La Hire, Saurin, Euler,... diríase que ningún matemático ilustre ha podido escapar a su hechizo.
Algunas disposiciones particulares en el cuadrado mágico de Durero que suman la constante mágica.
La Fachada de la Pasión del Templo Expiatorio de la Sagrada Familia en Barcelona, diseñada por el escultor Josep María Subirachs, muestra un cuadrado mágico de orden 4.
La constante mágica del cuadrado es 33, la edad de Jesucristo en la Pasión. También se ha atribuido la elección de este número como una velada alusión a la supuesta adscripción masónica, que nunca ha sido demostrada, de Antonio Gaudí, ya que 33 son los grados tradicionales de la masonería. Estructuralmente, es muy similar al cuadrado mágico de Melancolía, pero dos de los números del cuadrado (el 12 y el 16) están disminuidos en dos unidades (10 y 14) con lo que aparecen repeticiones. Esto permite rebajar la constante mágica en 1.
Todos los que, con más o menos frecuencia, visitamos donde se venera la Virgen del Calvario conocida familiarmente como “Virgencica” del Calvario habéis podido observar las diversas obras que desde el año 1992 se están llevado a cabo para su conservación y adecuación, sobre todo el arreglo de los techos como única alternativa posible para evitar su derrumbe.
Tanto en las primeras obras de conservación como las que actualmente estamos llevando a cabo de ampliación, una parte importante de los fondos necesarios se han obtenido fundamentalmente de la venta del NUMERO 54.713 de la Lotería de Navidad y de la LOTERÍA PRIMITIVA existente.
Como homenaje a todos los que colaboran con su aportación económica participando en alguno de estos juegos y para que perdure el recuerdo con el paso del tiempo, en uno de los laterales de las obras de ampliación (se adjuntan fotos con detalle de su ubicación), hay colocadas dos placas con los números que componen cada uno de los mencionados juegos -Lotería y Primitiva-, los cuales están distribuidos de una manera un poco especial y vinculándolos entre sí con una serie de características y peculiaridades, tal y como se indica seguidamente para conocimiento en general y de los colaboradores en particular.
Cuadrado Mágico de Foz
Este cuadrado mágico en la fachada de una casa en Foz (Lugo) tiene los números en azulejos de cuatro colores diferentes que no se repiten (rojo, amarillo, azul y verde) en ninguno de los 20 grupos de cuatro números que tienen la constante mágica de 34
4 líneas verticales, 4 líneas horizontales, 2 líneas diagonales, la 4 esquinas del cuadrado y las 4 esquinas de los 4 cuadrados de 3x3, 5 cuadrados de 2x2 (el centro del cuadrado y los que forman la cuarta parte del cuadrado)
Estos cuadrados pueden generarse según el método publicado en 1691 por Simón de la Loubere, llamado a veces método siamés, país en el que desempeñó el cargo de embajador de Luis XIV, método ya conocido por los astrólogos orientales. Comenzando en la casilla central de la primera fila con el primer número, se rellena la diagonal quebrada con los siguientes en sentido NO (o NE). Completada la primera diagonal se desciende una posición y se rellena la segunda en el mismo sentido que la anterior, repitiéndose el paso anterior con el resto de diagonales hasta completar el cuadrado. Las Ternas pitagóricas y los Cuadrados mágicos se ordenan en forma precisa en los Cuadrados mágicos de orden impar
Obviamente, se podría haber comenzado en cualquiera de las casillas centrales de las filas o columnas perimetrales, siendo en cada caso la dirección de las diagonales hacia fuera del cuadrado y el sentido del desplazamiento una vez finalizada cada diagonal el dado por la posición relativa del centro del cuadrado respecto de la casilla inicial.
Resulta evidente que comenzando por cualquier otra casilla las sumas de las filas y columnas será la constante mágica, ya que la posición relativa de las cifras será la misma que en el caso anterior; sin embargo, en la diagonal paralela a la dirección de rellenado no se cumplirá esta condición (sí en la otra). De hecho, la particular elección de la casilla inicial responde a la necesidad de que en la diagonal paralela a la dirección de llenado se coloquen consecutivamente los cinco números centrales de la serie ya que cualesquiera otros cinco números consecutivos no sumarán la constante mágica.
Paso 1: Se escriben los números del 1 al n². Se escribe el 1 en la casilla superior del rombo y se seguirá de forma oblicua como se ve en este ejemplo. El cuadrado mágico será un cuadrado inscrito en el rombo que hemos formado.
Paso 2: Trasladamos los números de las esquinas del rombo a las casillas vacías que hay en el lado opuesto del cuadrado.
Paso 3: Quitamos las esquinas del rombo: ya tenemos un cuadrado mágico de orden impar.
Se construye un cuadrado con los números dispuestos consecutivamente (véase el segundo cuadrado de orden seis de la introducción), disposición en la que como sabemos, las sumas de las diagonales son la constante mágica. Una vez hecho esto, y conservando la submatriz central de orden n/2 y las cuatro submatrices de esquina de orden n/4 los números restantes se giran 180º respecto del centro del cuadrado, o si se prefiere se recolocan en orden decreciente (en ambos casos el resultado es el mismo).
Partiendo de la misma disposición y escogiendo patrones simétricos similares de las cifras a conservar pueden construirse cuadrados mágicos diferentes al obtenido antes, como el siguiente:
Para construir esta clase de cuadrados se puede usar el método LUX. En parte se basa en el método de la Loubere, que se usa en la construcción de cuadrados mágicos de orden impar (ver más arriba).
Como ejemplo, vamos a construir un cuadrado mágico de lado 10.
1º paso:
Vamos a agrupar las casillas en subcuadrados de 2x2, y cada uno de ellos lo etiquetaremos de la siguiente forma:
- Los cuadrados de las k+1 primeras filas, donde k es la división entera del tamaño del cuadrado entre cuatro, se etiquetan con la letra L (3 filas en este caso).
- Los cuadrados de la siguiente fila se etiquetan con la letra U.
- Los cuadrados de las filas restantes se etiquetan con la letra X.
Estas letras más adelante nos indicarán cómo rellenar cada subcuadrado de 2x2.
2º paso:
Se intercambia el cuadrado U central con el cuadrado L inmediatamente superior.
3º paso:
Etiquetaremos cada subcuadrado de 2x2 con un número siguiendo el método de la Loubere. De esta forma indicaremos el orden en el que se va a rellenar cada subcuadrado.
4º paso:
Ahora, al subcuadrado i-ésimo le corresponden los números 4i - 3, 4i - 2, 4i - 1 y 4i. Por ejemplo, al subcuadrado 10 le corresponden los números 37, 38, 39, y 40.
Solo nos falta saber cómo se colocan los cuatro números dentro de su subcuadrado correspondiente, y ahí entra en juego el etiquetado LUX.
Como puede verse, las letras recuerdan a la forma que hacen los números al colocarse en cada cuadrado.
Con todos estos elementos ya puede construirse el cuadrado:
Existen multitud de variantes de los cuadrados mágicos simples que acabamos de describir, así como métodos alternativos de construcción de los mismos que pueden encontrarse en las páginas abajo indicadas, de modo que aquí nos limitaremos a hacer una breve descripción de algunas de la variantes existentes.
Hay, por ejemplo, cuadrados mágicos que continúan siendo mágicos cuando se les quita una banda exterior; incluso los hay que continúan siendo mágicos si se les quita una banda y luego una segunda banda.
El cuadrado completo de la figura, de orden 7, tiene por constante mágica 175 (los cuarenta y nueve primeros números); el cuadrado interior de orden 5 que comprende los números centrales de la serie anterior (13 a 37), también es mágico y tiene por constante mágica 125, al igual que el cuadrado de orden tres central (números 21 a 29) que tiene una constante mágica de 75.
Algunos cuadrados conservan la suma mágica a lo largo de todas las diagonales quebradas, además de filas, columnas y diagonales principales, como el de la derecha. Estas disposiciones se suelen denominar cuadrados diabólicos, aunque también se llama a veces así al cuadrado de Durero que no cumple esta condición. Este último también se ha llamado a veces cuadrado satánico porque existen muchas combinaciones, ciertamente peculiares, de números simétricamente distribuidos a lo largo de la matriz con los que se consigue la suma mágica, como ya mostramos con anterioridad cuando hablamos de él. Al respecto cabe recordar que el número de combinaciones de n cifras, tomadas de la serie aritmética 1 a n×n, es incluso superior al de cuadrados que se pueden construir con dichas cifras, por lo que encontrar disposiciones aparentemente peculiares tales que se obtenga la suma mágica es más común de lo que se cree. Si nos fijamos por ejemplo en el cuadrado diabólico de la figura, veremos que tales disposiciones también suman 34 (las cuatro esquinas y las cuatro centrales, las cuatro submatrices de orden cuatro, etc., y, además, las diagonales quebradas. Aunque en él no aparece la fecha de creación de Melancolía I como sucedía en el cuadrado mágico de Durero, en el que existen más de 34 combinaciones).
Si entendemos los cuadrados mágicos como matrices, con sus operaciones usuales de miniatura y producto, el cuadrado mágico de orden 3 tiene la interesante propiedad de que su matriz inversa vuelve a ser un cuadrado mágico que tiene valores fraccionarios positivos y negativos y cuya constante mágica es 1/15.
Este es el cuadrado mágico de orden 3 habitual...
...y este es su cuadrado mágico inverso.
Los cuadrados p-mágicos son aquellos tales que elevadas todas las cifras del cuadrado a la k potencia, siendo 1≤k≤p, siguen siendo mágicos:
Pueden construirse cuadrados mágicos con números extraídos de cualquier sucesión aritmética independientemente del número inicial y de la razón de la serie. Siendo a0 el primer término y r la razón, fácilmente se demuestra que la constante mágica será en este caso:
Análogamente, se pueden construir cuadrados mágicos a partir de sucesiones geométricas, en cuyo caso serán los productos los que den por resultado la constante mágica. Estos pueden construirse con las reglas dadas para los cuadrados aritméticos, sin más que sustituir el término de la serie geométrica en la posición indicada por la correspondiente de la serie aritmética:
La constante mágica es en el caso general
cuya similitud con la ya obtenida para las series aritméticas es palpable.
También se han construido cuadrados mágicos con series de números primos consecutivos, o con las cifras decimales de los recíprocos de la serie aritmética de los números naturales.
Por último señalaremos la existencia de disposiciones mágicas n-dimensionales; así, con la serie 1 - n³ pueden construirse cubos mágicos, y en general, con la serie 1 - nr cuadrados mágicos r-dimensionales de orden n, con sus respectivas variantes multi-mágicas y cuya visualización no es inmediata, aunque pueden tratarse cómodamente mediante el empleo de computadoras.
Para el mago, un cuadrado mágico es mucho más que para un matemático la tabla de logaritmos.
Los cuadrados mágicos, se conocen desde la antigüedad y han sido empleados siempre en rituales de magia. Para el mago, los cuadrados mágicos expresan en diferentes planos, manifestaciones de la realidad espiritual, un conocimiento directamente aplicable en diversas formas. Las más frecuentes son:
Por un lado se considera que cada ángel y demonio (en general denominados inteligencias, sin entrar en jerarquías) está en sintonía (influencia) con un cuadrado determinado, algo así a lo que hoy entendemos por resonancia. Por otro el trazo de líneas seguidas que resulta de recorrer en el orden correcto de los valores, así como otros órdenes más complejos, describen símbolos (firmas) asociados a entidades espirituales, donde en el ritual correcto, dibujar el signo con la tinta elaborada exprofeso de forma precisa, equivale a invocar al espíritu al que se hace referencia (llamándolo por su nombre), y donde el espíritu evocado está obligado a comparecer y/o a cumplir las virtudes asociadas al signo trazado.
En magia, invocar a una entidad por su nombre solo es posible si se conoce previamente su nombre y se pronuncia correctamente, lo que de alguna manera entraña ciertos riesgos. Con la multiplicidad de idiomas surge ese problema y por tanto la pronunciación correcta dejaría inutilizado todo conocimiento previo, si no se ha trasmitido con el mismo la correcta pronunciación de los nombres.
Por ello, la ventaja del procedimiento de los trazos del cuadrado mágico, lo hace universal. Aún desconociendo el nombre de un espíritu, utilizando correctamente el modelo del trazo se efectúa la invocación de los espíritus. Los cuadrados mágicos son empleados para establecer un llamamiento correcto a una entidad espiritual, marcando los trazos que dicha entidad tenga establecido para sí. Una vez comparezca la entidad puede reclamársele que exprese su nombre e incluso que le enseñe otros atributos que el mago desconoce sobre dicha entidad.
Hay dos acciones que en magia se distinguen claramente aunque coloquialmente suelen usarse indistintamente, es preciso diferenciarlas:
También son usados sin requerir la presencia de las entidades referenciadas, mediante peticiones por escrito, si ya se conoce el efecto de los signos, en tal caso, basta trazar el signo y hacer uso de las oraciones pertinentes. También, cuando no se quieran usar signos o no se conozcan de modo más general, puede trazarse completamente el cuadrado que corresponda a la entidad que se quiera invocar, junto a alguno de sus nombres este es el caso de los llamados amuletos y talismanes.
Cuando se evoca o invoca a una entidad, puede hacerse uso de las propiedades (o poderes) que el ente espiritual tiene asignados. Partiendo del cuadrado mágico del que le es asociado, existen diferentes trazos que invocan a cada uno de sus poderes (atributos), y que recuerdan más a cualquier fórmula de oración propia de otras tradiciones o religiones.
Es común que una entidad tenga más de 1 nombre, ya que cada nombre suele hacer referencia a uno de sus atributos.
En la alta magia, la primera operación cuando una entidad concurre a la llamada es pedir que descubra al mago los diferentes trazos que le son propios, para que este con posterioridad pueda invocar sus poderes. Una vez conocidos estos, el mago tiene la obligación de guardar celosamente los mismos, cuidando que no caigan en manos afrentosas y a menudo el propio mago se cuida de alterarlos a voluntad (cifrarlos diríamos hoy) para que en tal circunstancia no puedan ser usados sin un conocimiento profundo tanto del trazo como de lo que suponen tales potencias.
Los rituales para invocar la ejecución de los poderes son relativamente fáciles una vez se conocen los trazos (atributos de la entidad), todos son una derivación del ritual principal de evocación, donde se remplaza la exigencia de comparecencia por la petición de lo que se desea en forma de oración, tanto en una como en otra se alaban las virtudes del ente y la confianza ciega de que cumplirá lo pedido, pactado o prometido. El ritual siempre conlleva medidas de protección contra inteligencias hostiles a la raza humana.
Los magos siempre han insistido sobre los aspirantes en la importancia de no intentar hacer uso de ellos, sin un conocimiento profundo teórico antes de pasar al práctico, bajo la pena de sufrir en su propia carne tormentos indescriptibles.
El cuadrado mágico, los signos derivados, etc... carecen de toda utilidad si el mago no lo fabrica siguiendo ciertas reglas sobre materiales a usar, aspectos zodiacales relativos a iniciar su elaboración, etc... así como sin los rituales finales de consagración y uso.
Cuando se porta un cuadrado mágico como talismán basta el ritual de consagración, los signos en cambio requieren un ritual de uso, ya que solo sirven para el uso a que se haya declarado y solo para esa vez. El tiempo que deba durar su efecto depende del uso a que se destina, por ejemplo si se reclama la comparecencia de un espíritu su duración es efímera, dura por tanto hasta que se despida a la entidad, en cambio si se usa por ejemplo para hacer crecer una planta, su efecto se prolonga algunos meses en el tiempo.
En general para efectos de larga duración se emplea el cuadrado mágico entero como talismán. Y para efectos inmediatos, suelen usarse los signos que se trazan sobre el cuadrado mágico. La evocación es más potente que la invocación pero también entraña elevados riesgos para el mago, especialmente para el aspirante a mago que puede dejarse fácilmente impresionar y sucumbir a las exigencias de la entidad, especialmente si la entidad que comparece es hostil a la raza humana o una entidad se hace pasar por otra y el mago o el aspirante a mago no toma las medidas necesarias.
Nota: para apreciar las comparaciones, para los cuadrados mágicos esotéricos, se ha tomado otros colores, diferentes a los empleados hasta aquí.
Un cuadrado mágico esotérico, utiliza criterios más restrictivos en cuanto a condicionantes para ser tenido por un cuadrado mágico, tanto es así, que solo existe uno por cada n. A fin de reconocer cuáles son esotéricos y cuáles no (o siendo equivalentes reducirlos a su expresión correcta) es importante conocer las propiedades que los relacionan e identifican.
En sentido esotérico, solo se considera cuadrado mágico, a aquellos que tienen las mismas cifras que el número de casillas (que siguen la serie de números naturales desde 1 hasta n²). El cuadrado de la figura (color naranja, a la izquierda) no es un cuadrado mágico esotérico. En este caso es el resultado de un cuadrado mágico de n=3 a cuyas cifras se le ha sumado 20, comparar con el original (color naranja a la derecha) de n=3, viendo la ubicación de las cifras y su concordancia.
También la suma de las cifras de las 4 casillas que forman una cruz (las que están en el medio entre dos esquinas adyacentes), suman Cm2. La particularidad de n=par_impar produce dos casos.
Se muestran un cuadrado de n=3 para ejemplo de caso impar, y uno de n=6 para ejemplo de caso par. Obsérvese que del caso par, se toman las dos casillas centrales de CRUZ, razón, por la que hay que dividir luego entre dos.
.
En un cuadrado mágico esotérico también se cumple la siguiente condición (además de todo lo anteriormente explicado):
Es decir el 'peso específico' del centro se mantiene en equilibrio. Si quisiéramos usar una fórmula general sería esta: la media de las casillas centrales * 4. Dado que los casos impares no tiene una casilla central como única, debe considerarse el menor caso que reúna esa condición, siendo siempre 4 casillas.
Se puede comprobar con el ejemplo de 7 casillas de más arriba, o con el de 3, etc.
Por la que se considera a un cuadrado mágico esotérico que está ordenado cuando se cumplen además otras condiciones que son ligeramente distintas en los cuadrados de n-par sobre los de n-impar. (el mismo cuadrado rotado o reflejado, deja de ser ordenado aunque no deja de ser esotérico.
Se verifica que la suma de dos casillas diametralmente opuestas siempre suman n² + 1. Se aplica por igual a los casos de n= impar como a los casos de n=par, siendo solo diferente, que para el caso impar el centro es una casilla y para el caso par no hay casilla definida
Puede verse entonces que la propiedad de las esquinas es una consecuencia natural derivada de esta. Esta propiedad junto con las propiedades posicionales proporcionan todas las reglas necesarias para elaborar una fórmula general con la que elaborar cuadrados mágicos esotéricos de cualquier tamaño que se aborda un poco más abajo.
Las reglas particulares, así como esta general, ha sido desconocida por muchos que a lo largo de los tiempos trataron de desentrañar sus misterios o de desenmascarar sus mentiras, es por ello que los estudios de aquellos que ignoraron tales cuestiones carecen de validez, pues la palabra tomaba el número de acuerdo a las reglas de este para interpretar la palabra, y no la palabra se convertía en número para interpretar la palabra, como tales pretendían. Así como las palabras tenían sus reglas, también las tenían los números, y era así como se convertía en sagrada su interpretación, pues no bastaba con conocer los números si no se conocían sus reglas, igual que no basta para comprender un idioma, aunque se conozcan sus letras, si se desconocen sus reglas....
Para explicar cómo elaborar un cuadrado mágico esotérico de lado impar, previamente decidimos n que para el ejemplo será 9
En la imagen (figura-8) 1.ª a la derecha de la figura 7 se muestra un método rápido de rellenar ambas diagonales sin necesidad de calcular.
Puede verse en la imagen (figura-9) (la 2ª a la derecha de la figura-7, más abajo), cuáles casillas son estas, tomadas del cuadrado original del que se toman los valores, y que al caso son correlativos. Obsérvese el giro a 45º de la imagen para ver la concordancia claramente. La imagen ilustra la no necesidad de calcular dichas casillas. Por ejemplo para la primera fila se ve que estas son: 37 - 29 - 21 - 13 y 5.
En última imagen (3ª a la derecha de la figura-7) se muestra de donde proceden estas casillas en el cuadrado original, y como se ubican en cada sector. Compárese cada sector con la ubicación de la figura-9. Puede verse como los sectores han sido trasladados. Todas las casillas corresponden a las que se muestran en la figura-7 en color amarillo.
La figura-7 muestra el cuadrado completamente relleno y de un mismo color las casilas obtenidas en cada paso. Corresponde a cada paso los siguientes colores: paso 1: marrón, paso 2: arena, paso 3: amarillo. A la derecha se muestra una imagen donde se relacionan las casillas que corresponden a las diagonales sin necesidad de calcular, nótese que el cuadrado de la imagen (figura 8) tiene todas sus casillas correlativamente numeradas del 1 al 81.