Difeomorfismo

En topología diferencial, un difeomorfismo es un isomorfismo en la categoría de las variedades diferenciables (es decir, un difeomorfismo es un homeomorfismo diferenciable con inversa diferenciable). Como tal un difeomorfismo es una aplicación que posee aplicación inversa, por supuesto estas dos aplicaciones son diferenciables.

Dadas dos variedades ${displaystyle {mathcal {M}}}$ y ${displaystyle {mathcal {N}}}$, una aplicación ${displaystyle f:{mathcal {M}} o {mathcal {N}}}$ es un difeomorfismo si es un homeomorfismo diferenciable con inversa diferenciable. Si estas aplicaciones son r veces continuamente diferenciables, esto es son miembros de ${displaystyle C^{r}}$ entonces f es un C^r-difeomorfismo o difeomorfismo de clase C^r.

Dos variedades ${displaystyle {mathcal {M}}}$ y ${displaystyle {mathcal {N}}}$ son difeomorfas ${displaystyle ({mathcal {M}}approx {mathcal {N}})}$ si existe un difeomorfismo f entre ellas.

Las transformaciones regulares son llamadas difeomorfismos de la clase ${displaystyle C^{(1)}}$

Una aplicación ${displaystyle g}$ de ${displaystyle {mathcal {R^{n}}} o {mathcal {R^{n}}}}$ es regular si:

Dado un subconjunto ${displaystyle X}$ de una variedad ${displaystyle {mathcal {M}}}$ y un subconjunto ${displaystyle Ysubset {mathcal {N}}}$, una función ${displaystyle f:X o Y}$ es diferenciable (suave) si para cada ${displaystyle pin X}$ existen un entorno ${displaystyle Usubset {mathcal {M}}}$ y una función diferencialbe (suave) ${displaystyle g:U o Y}$ tal que ${displaystyle g_{|Ucap X}=f_{|Ucap X}}$ (nótese que g es una extensión de f). Se dice además que f es un difeomorfismo si es biyectiva, diferenciable y su inversa diferenciable.

Ejemplo canónico. Si U, V son subconjuntos abiertos conexos de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ tales que V es además simplemente conexo, una aplicación diferenciable f : U → V es un difeomorfismo, si es una aplicación propia y si la aplicación progrediente o diferencial Df_x : Rⁿ → Rⁿ es biyectiva en todo punto x de U.

Comentario 1. Es esencial que U sea simplemente conexo para que la función f sea globalmente invertible (si únicamente se exige la condición de que la derivada sea biyectiva en cualquier punto). Por ejemplo, considérese la "realificación" de la función compleja z²:

Entonces f es suprayectiva y satisface

así Df_x es biyectiva en todos los puntos aunque f no admite inversa, porque no es biyectiva, e.g., f(1,0) = (1,0) = f(−1,0).

Puesto que cualquier variedad puede ser parametrizada localmente mediante ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, podemos considerar algunas aplicaciones explícitas: