Diferencial (matemáticas)

Herramienta matemática que nos permite trabajar sobre espacios tangentes de diferentes variedades diferenciables aprovechado las buenas propiedades de unos bien conocidos sobre otros que casi no conocemos.

Eslabón necesario para construir la teoría de geometría diferencial y generalizar su estudio.

Sean ${displaystyle M_{}^{},N}$ variedades diferenciables, ${displaystyle F:Mlongrightarrow {}N}$ una aplicación diferenciable y ${displaystyle pin M}$, llamaremos diferencial de ${displaystyle F_{}^{}}$ a

Observaciones

Queda claro que ${displaystyle delta _{}^{}}$ es ${displaystyle delta _{p}^{}}$, ya que ${displaystyle p_{}^{}}$ es redundante pues hablamos de elementos de ${displaystyle {mathcal {T}}_{p}M}$ y, es decir, derivaciones a ${displaystyle M_{}^{}}$ precisamente en ${displaystyle p_{}^{}}$.

Veamos que está bien definida, es decir, que ${displaystyle d_{p}F(delta )in {mathcal {T}}_{F(p)}N}$ como se ha requerido:

Veamos finalmente que ${displaystyle d_{p}^{}F}$ es ${displaystyle mathbb {R} }$-lineal:

Así pues, tenemos que ${displaystyle d_{p}^{}F}$, como aplicación lineal entre espacios vectoriales, queda totalmente determinada por una matriz.

Sean ${displaystyle M,;N,;P_{}^{}}$ variedades diferenciables, ${displaystyle F:M ightarrow N}$, ${displaystyle G:N ightarrow P}$ y ${displaystyle pin M}$, entonces tenemos que:

Demostración

Sea ${displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable, ${displaystyle Id_{M}:M ightarrow M}$ y ${displaystyle pin M}$, entonces tenemos que:

Demostración

Sea ${displaystyle M,;N_{}^{}}$ variedades diferenciables y ${displaystyle F:M ightarrow N}$ un difeomorfismo, entonces tenemos que:

Demostración