Distribución geométrica

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:

Si una variable aleatoria discreta ${displaystyle X}$ sigue una distribución geométrica con parámetro ${displaystyle 0<p<1}$ entonces escribiremos ${displaystyle Xsim operatorname {Geometrica} (p)}$ o simplemente ${displaystyle Xsim operatorname {Geo} (p)}$.

Si la variable aleatoria discreta ${displaystyle X}$ se usa para modelar el número de fracasos antes de obtener el primer éxito en una sucesión de ensayos independientes Bernoulli en donde en cada uno de ellos la probabilidad de éxito es ${displaystyle p}$ entonces la función de probabilidad de ${displaystyle Xsim operatorname {Geometrica} (p)}$ es

para ${displaystyle x=0,1,2,3,dots }$

Si ${displaystyle Xsim operatorname {Geometrica} (p)}$ entonces la función de distribución está dada por

para ${displaystyle x=0,1,2,3,dots }$

Si ${displaystyle Xsim operatorname {Geometrica} (p)}$ considerando que ${displaystyle X}$ modela el número de fracasos antes del primer éxito entonces la variable aleatoria ${displaystyle X}$ cumple con algunas propiedades:

La media de ${displaystyle X}$, siempre que ${displaystyle X}$ modele el número de ensayos hasta obtener el primer éxito, ^[1]​está dada por

y esta se demuestra fácilmente si consideramos la definición de esperanza

donde se consideró la serie geométrica

si ${displaystyle |alpha |<1}$.

La varianza de ${displaystyle X}$ está dada por

La función generadora de probabilidad f.g.p está dada por

si ${displaystyle |t|<(1-p)^{-1}}$.

La función generadora de momentos está dada por

si ${displaystyle t<-ln(1-p)}$.

La distribución geométrica tiene la propiedad de pérdida memoria, es decir, para cualesquiera ${displaystyle m,ngeq 0}$

Su distribución análoga, la distribución exponencial, también tiene la propiedad de pérdida de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos.

La distribución geométrica es la única distribución discreta que tiene la propiedad de pérdida de memoria.