Ecuación de Pauli

La ecuación de Pauli, o ecuación de Schrödinger-Pauli, es una generalización o reformulación de la ecuación de Schrödinger para partículas de espín 1/2 que tiene en cuenta la interacción entre el espín y el campo electromagnético. Esta ecuación es el límite no relativista de la ecuación de Dirac y puede usarse para describir electrones para los cuales los efectos relativistas de la velocidad pueden despreciarse.

La ecuación de Pauli fue propuesta originalmente por Wolfgang Pauli en 1927.^[1]​

La ecuación de Pauli tiene la forma:

(1)${displaystyle left[{frac {1}{2m}}({hat {oldsymbol {sigma }}}cdot ({hat {mathbf {p} }}-emathbf {A} ))^{2}+eV ight]|psi angle =ihbar {frac {partial }{partial t}}|psi angle }$

donde:

Si se usan la propiedades de las matrices de Pauli se demuestra fácilmente la siguiente igualdad:^[2]​

${displaystyle left[{hat {oldsymbol {sigma }}}cdot left({hat {mathbf {p} }}-{frac {e}{c}}mathbf {A} ight) ight]^{2}=left({hat {mathbf {p} }}-{frac {e}{c}}mathbf {A} ight)^{2}+i{hat {oldsymbol {sigma }}}cdot left({hat {mathbf {p} }}-{frac {e}{c}}mathbf {A} ight) imes left({hat {mathbf {p} }}-{frac {e}{c}}mathbf {A} ight)}$

Y como:

${displaystyle left({hat {mathbf {p} }}-{frac {e}{c}}mathbf {A} ight) imes left({hat {mathbf {p} }}-{frac {e}{c}}mathbf {A} ight)=-{frac {e}{c}}({hat {mathbf {p} }} imes mathbf {A} +mathbf {A} imes {hat {mathbf {p} }})=-{frac {e}{c}}(-ihbar {oldsymbol { abla }} imes mathbf {A} )={frac {ihbar e}{c}}mathbf {B} }$

La ecuación (1) puede reescribirse en la forma:

(2)${displaystyle {frac {1}{2m}}({hat {mathbf {p} }}-emathbf {A} )^{2}|psi angle +left(eV-{frac {hbar e}{2mc}}mathbf {B} cdot {hat {oldsymbol {sigma }}} ight)|psi angle =ihbar {frac {partial }{partial t}}|psi angle }$

La derivación histórica de la ecuación se hizo siguiendo principios formales no muy diferentes del principio de acoplamiento mínimo usado posteriormente en la teoría cuántica de campos.

La ecuación de Pauli para el espinor de Pauli formado por dos componentes, cada uno con un significado similar a la función de onda. De hecho, en ausencia de campo la ecuación de Pauli se reduce a una ecuación de Schrödinger "doble", es decir, cada una de las dos componentes del espinor satisface independiente la ecuación de Schrödinger.

La densidad de probabilidad conjunta viene dada por las reglas usuales de la mecánica cuántica:

${displaystyle ho (mathbf {x} )=langle psi ^{dagger }|psi angle ={egin{pmatrix}psi _{0}^{*}&psi _{1}^{*}end{pmatrix}}{egin{pmatrix}psi _{0}\psi _{1}end{pmatrix}}=psi _{0}^{*}psi _{0}+psi _{1}^{*}psi _{1}}$

E igualmente puede probarse que el valor esperado para los operadores de espín viene dado:

${displaystyle langle {hat {S}}_{z} angle ={frac {hbar }{2}}int _{mathbb {R} ^{3}}(psi _{0}^{*}psi _{1}+psi _{1}^{*}psi _{0})dV,qquad langle {hat {S}}_{x} angle ={frac {hbar }{2}}int _{mathbb {R} ^{3}}(psi _{0}^{*}psi _{0}-psi _{1}^{*}psi _{1})dV}$

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