Ecuaciones diofánticas

Se llama ecuación diofántica o ecuación diofantina a cualquier ecuación algebraica, de dos o más incógnitas, cuyos coeficientes recorren el conjunto de los números enteros, de las que se buscan soluciones enteras o naturales, esto es, que pertenezcan al conjunto de los números enteros. Un tipo particular de dichas ecuaciones son las ecuaciones diofánticas lineales con dos incógnitas, las cuales tienen la forma ${displaystyle ax+by=c}$.

Una condición necesaria y suficiente para que ${displaystyle ax+by=c,}$ con ${displaystyle a,b,c,}$ perteneciente a los enteros, tenga solución, es que el máximo común divisor de ${displaystyle a,}$ y ${displaystyle b,}$ divida a ${displaystyle c}$.

Un ejemplo de ecuación diofántica es: ${displaystyle x+y=5,}$.

Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números reales. Como regla general, sin embargo, las ecuaciones que aparecen en los problemas tienen restricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño número de casos e incluso a una única solución.

Por ejemplo, en nuestra ecuación, si restringimos los posibles valores de ${displaystyle x}$ e ${displaystyle y}$ a los enteros positivos, tenemos 4 soluciones para ${displaystyle (x,y)}$: ${displaystyle (1,4)lor (2,3)lor (3,2)lor (4,1)}$.

Un problema matemático muy famoso que se resuelve por medio de ecuaciones diofánticas es el del mono y los cocos.

La ecuación diofántica ${displaystyle Ax+By=C,}$ o identidad de Bézout tiene solución si y solo si ${displaystyle d=mathrm {mcd} (A,B)}$ (máximo común divisor) es un divisor de C. En ese caso la ecuación tiene una infinidad de soluciones. ^[1]​ ^[2]​

Similarmente la ecuación ${displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+dots +a_{n}x_{n}=C}$ tiene solución si y solo si ${displaystyle d=mathrm {mcd} (a_{1},a_{2},dots ,a_{n})}$ es un divisor de ${displaystyle C}$.

Supongamos la ecuación diofántica ${displaystyle Ax+By=C}$. Solo tiene solución si ${displaystyle mathrm {mcd} (A,B)=d|C,}$. Para buscar ${displaystyle mathrm {mcd} (A,B)}$ empleamos el algoritmo de Euclides. Si una ecuación diofántica tiene solución, necesariamente tiene infinitas soluciones y todas son de la forma:

${displaystyle {egin{cases}x=x_{1}+lambda {cfrac {B}{d}}\y=y_{1}-lambda {cfrac {A}{d}}end{cases}}}$

Donde ${displaystyle d=mathrm {mcd} (A,B)}$, ${displaystyle lambda in mathbb {Z} }$ y ${displaystyle x_{1}}$ e ${displaystyle y_{1}}$ son una solución particular de la ecuación.

Esta solución para números enteros contrasta con la solución de la misma ecuación cuando se considera que ${displaystyle A,B,C,x,y}$ son números reales, que está formada por infinitas soluciones de la forma: ${displaystyle y={frac {C-Ax}{B}}}$ (suponiendo ${displaystyle B eq 0}$).

Para encontrar una solución particular usamos la identidad de Bézout junto al algoritmo de Euclides. Esto nos da ${displaystyle x_{1},}$ e ${displaystyle y_{1},}$. Veamos el ejemplo:

Tenemos la ecuación diofántica ${displaystyle 6x+10y=104}$

${displaystyle left{{egin{array}{rccl}x&=&(2cdot 52)&+lambda cdot {frac {10}{2}}\y&=&(-1cdot 52)&-lambda cdot {frac {6}{2}}end{array}} ight.forall lambda in mathbb {Z} }$

La ecuación ${displaystyle x^{2}-y^{2}=a}$

que se puede escribir como ${displaystyle (x+y).(x-y)=a}$. Llamando a ${displaystyle x+y=m}$; ${displaystyle x-y=n}$ la ecuación se expresa como ${displaystyle mcdot n=a}$.

Sabemos que ${displaystyle m}$ y ${displaystyle n}$ tienen la misma paridad. Al resolver el sistema se obtiene que:

${displaystyle x+y=m}$ ${displaystyle x={m+n over 2}}$

${displaystyle x-y=n}$ ${displaystyle y={m-n over 2}}$

Se llama ecuación pitagórica a la ecuación ${displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2},}$ con ${displaystyle x,y,zin mathbb {Z} }$. Cualquier terna (x, y, z) solución de la ecuación anterior se conoce como terna pitagórica. Además si ${displaystyle (x,y,z)}$ es una terna pitagórica solución de la ecuación pitagórica también lo serán:

Se dice que una terna es primitiva, si el máximo común divisor de ${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$, ${displaystyle z}$ es la unidad, es decir, ${displaystyle {mbox{mcd}}(x,y,z)=1}$. En toda terna primitiva al menos uno de los números ${displaystyle x}$ o ${displaystyle y}$ es par y ${displaystyle z}$ es impar. Puede verse que en esas condiciones todas las ternas primitivas que son soluciones de la ecuación pitagórica son de la forma:^[3]​

${displaystyle {egin{cases}x=u^{2}-v^{2}qquad y=2uvqquad z=u^{2}+v^{2}\u,vin mathbb {N} ;land ;u eq v ({mbox{mod}} 2);land ;{mbox{mcd}}(u,v)=1end{cases}}}$

A Platón se le debe un aporte sobre el caso cuando él formula como los lados de un triángulo rectángulo, en números enteros ${displaystyle 2n,n^{2}-1,n^{2}+1}$, sin duda alguna tuvo influencia en el desarrollo matemático general.^[4]​

Cuando los números enteros positivos ${displaystyle u}$, ${displaystyle v}$, ${displaystyle w}$ representan las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, la terna (u, v, w) se dice que es una terna pitagórica. Por ejemplo ${displaystyle (3,4,5)}$, ${displaystyle (7,24,25)}$ y ${displaystyle (9,40,41)}$ son ternas pitagóricas.^[5]​

La ecuación ${displaystyle x^{3}+y^{3}=1729}$ fue resuelta automáticamente por Ramanujan, quien dio como soluciones -contemplando las cifras que aparecían en la placa de un automóvil- los pares ordenados (1,12), (12,1) (10,9) (9,10).^[6]​

En 1900, David Hilbert propuso una famosa lista de problemas cuya solución se considera que concedería grandes aportaciones a las matemáticas. Uno de ellos, el décimo problema concretamente, se refería a la solubilidad general de las ecuaciones diofánticas, que a principios de siglo era un problema abierto. El problema fue resuelto finalmente en 1970, cuando un resultado novedoso en lógica matemática conocido como teorema de Matiyasevich contestaba negativamente al problema de Hilbert: no existe un procedimiento general que permita establecer cuantas soluciones tiene una ecuación diofántica.

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