En matemáticas, se le llama espacio proyectivo complejo al espacio de las líneas complejas de Cn+1 que pasan por el origen. Normalmente se nota por P(Cn+1), Pn(C) o CPn
Constituye una variedad compleja compacta de dimensión compleja n definida identificando los puntos proporcionales de Cn+1-{0} mediante la siguiente relación de equivalencia:
Sea la proyección que lleva cada z en su clase de equivalencia. Dotamos a CPn de la topología cociente, de modo que es abierto si y sólo si lo es. Esta topología convierte a la proyección en una aplicación continua.
Para ello basta observar que es imagen por una aplicación continua de la esfera real S2n+1. En concreto por la composición de aplicaciones dada por
Esta aplicación es sobreyectiva pues toda línea pasa por un punto de S2n+1.
Podemos construir un atlas mediante las cartas definidas por:
donde por ^ debemos entender que no aparece la entrada correspondiente.
Si , se comprueba que el cambio de cartas es holomorfo.
Toda inclusión del tipo Ck+1 → Cn+1 induce una inclusión entre los proyectivos correspondientes CPk → CPn. A la imagen de esta aplicación se le denomina subespacio lineal de CPn.
Si k = n-1, a la imagen de esta aplicación se le denomina hiperplano de CPn. Si k = 1, de su imagen se dice que es una línea del mismo.
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