Extremos de una función

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local o relativo) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).^[1]​^[2]​^[3]​ De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

Sea ${displaystyle f:Asubset mathbb {R} ^{n}longrightarrow mathbb {R} }$, sea ${displaystyle x_{0}in A}$ y sea ${displaystyle P=,(x_{0},f(x_{0}))}$ un punto perteneciente a la gráfica de la función.

Se dice que ${displaystyle P}$ es un máximo local de ${displaystyle f}$ si existe un entorno reducido de centro ${displaystyle x_{0}}$, en símbolos ${displaystyle {E'(x_{0})}}$, donde para todo elemento ${displaystyle x}$ de ${displaystyle E'(x_{0})subset A}$ se cumple ${displaystyle f(x)leq f(x_{0})}$. Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse ${displaystyle f(x)<f(x_{0})}$.

Análogamente se dice que el punto ${displaystyle P}$ es un mínimo local de ${displaystyle f}$ si existe un entorno reducido de centro ${displaystyle x_{0}}$, en símbolos ${displaystyle {E'(x_{0})}}$, donde para todo elemento ${displaystyle x}$ de ${displaystyle {E'(x_{0})}}$ se cumple ${displaystyle f(x)geq f(x_{0})}$.

Sea ${displaystyle f:Asubset mathbb {R} ^{n}longmapsto mathbb {R} }$, sea ${displaystyle x_{0}in A}$ y sea ${displaystyle P=,(x_{0},f(x_{0}))}$ un punto perteneciente a la gráfica de la función.

Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de ${displaystyle x_{0}}$ perteneciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de ${displaystyle x_{0}}$. Esto es:

${displaystyle P,(x_{0},f(x_{0}))}$ máximo absoluto de ${displaystyle fiff forall x eq x_{0},xin A,f(x_{0})geq f(x)}$.

Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de ${displaystyle x_{0}}$ perteneciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de ${displaystyle x_{0}}$. Esto es:

${displaystyle P,(x_{0},f(x_{0}))}$ mínimo absoluto de ${displaystyle fiff forall x eq x_{0},xin A,f(x_{0})leq f(x)}$.

Dada una función suficientemente diferenciable ${displaystyle f:Asubset mathbb {R} longrightarrow mathbb {R} }$, definida en un intervalo abierto de ${displaystyle mathbb {R} }$, el procedimiento para hallar los extremos de esta función es muy sencillo:

Sea ${displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}+45x-30,}$. Hallar sus extremos locales y sus puntos de inflexión. Dada la función ${displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}+45x-30,}$, se tiene que:

${displaystyle f',(x)=3x^{2}-24x+45}$

${displaystyle f'',(x)=6x-24}$

${displaystyle f''',(x)=6}$

${displaystyle f',(x)=3x^{2}-24x+45=0iff xin {ig {}3,5{ig }}}$

${displaystyle f'',(3)=6cdot 3-24=-6<0Rightarrow }$ existe un máximo en ${displaystyle M,(3,f(3)) ightarrow M,(3,24)}$.

${displaystyle f''(5)=6cdot 5-24=6>0Rightarrow }$ existe un mínimo en ${displaystyle m,(5,f(5)) ightarrow m,(5,20)}$.

${displaystyle f''(x)=6x-24=0iff x=4}$.

${displaystyle f'''(4)=6 eq 0Rightarrow }$ existe un punto de inflexión en ${displaystyle P,(4,f(4)) ightarrow P,(4,22)}$.

Dada una función de n variables, un extremo requiere calcular el gradiente. Por ejemplo la función ${displaystyle f:mathbb {R} ^{2} o mathbb {R} }$, dada por ${displaystyle (x,y)mapsto f(x,y)=x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}}$, nótese que la función puede escribirse equivalentemente como suma de dos funciones estrictamente positivas ${displaystyle f(x,y)=(x-a)^{2}+y^{2}}$ minimizando los términos por separado es obvio que para ${displaystyle (x,y)=(a,0)}$ se tiene un mínimo. El procedimiento estándar cuando los mínimos no son evidentes a simple vista consiste en calcular la matriz jacobiana (que en este caso coincide con el gradiente):

${displaystyle [{ ext{D}}f(x,y)]=left[{frac {partial f}{partial x}},{frac {partial f}{partial y}} ight]=[2(x-a),2y]}$

Por lo tanto, para alcanzar un mínimo se requeriría ${displaystyle 2(x-a)=0, 2y=0}$; es decir, precisamente la solución ${displaystyle x=a, y=0}$.

Un problema de extremos condicionados consiste en buscar un extremo de una función no sobre cualquier punto de su dominio sino sobre un subconjunto del dominio de la función que puede expresarse como variedad diferenciable. Más concretamente consiste en encontrar un máximo (o un mínimo) sujeto a la condición de que el punto donde se produce pertenezca a un cierto conjunto:

${displaystyle max _{xin S}f(x),qquad left(min _{xin S}f(x) ight);qquad {mbox{con}} S:={x|g(x)=0}subset mathbb {R} ^{n}}$

Este tipo de problemas aparece en numerosas aplicaciones prácticas tanto en ciencias físicas como en economía, por ejemplo. Para resolver este tipo de problemas se usa el método de los multiplicadores de Lagrange.