Flujo maximal

En teoría de grafos, una red de flujo es un grafo dirigido donde existen dos vértices especiales, uno llamado fuente, al que se le asocia un flujo positivo y otro llamado sumidero que tiene un flujo negativo y a cada arista se le asocia cierta capacidad positiva. En cada vértice diferente a los dos especiales se mantiene la ley de corrientes de Kirchoff, en donde la suma de flujos entrantes a un vértice debe ser igual a la suma de flujos que salen de él (propiedad de conservación del flujo ${displaystyle sum f_{i}=sum f_{o}}$). Puede ser utilizada para modelar el tráfico en un sistema de autopistas, fluidos viajando en tuberías, corrientes eléctricas en circuitos eléctricos o sistemas similares por lo que viaje algo entre nodos. Uno de los usos principales de los llamados algoritmos de flujo es encontrar el flujo máximo de la fuente al sumidero, siempre cumpliendo unas determinadas restricciones.

Una red de flujo es un grafo dirigido ${displaystyle G=(V,E)}$ en donde cada arco ${displaystyle (u,v)in E}$ tiene una capacidad no negativa ${displaystyle c(u,v)geq 0}$.

Se distinguen dos vértices: la fuente s y el destino t.

Se supone que cada vértice se encuentra en alguna ruta de s a t.

Un flujo en G es una función ${displaystyle f:V imes Vmapsto R}$ tal que

El valor del flujo es ${displaystyle |f|=sum _{vin V}f(s,v)}$

El problema del flujo máximo trata de maximizar este flujo.

Tenemos el conocido problema de flujo máximo o maximal: ¿cuál es la tasa mayor a la cual el material puede ser transportado de la fuente al sumidero sin violar ninguna restricción de capacidad?

En otras palabras, el problema consiste en determinar la máxima capacidad de flujo que puede ingresar a través de la fuente y salir por el nodo de destino.

El procedimiento para obtener el flujo máximo de una red, consiste en seleccionar repetidas veces cualquier trayectoria de la fuente al destino y asignar el flujo máximo posible en esa trayectoria.

Podemos, mediante el Algoritmo de Ford-Fulkerson, encontrar el flujo máximo de una red.

Este algoritmo es un método iterativo, el cual, empieza con un flujo nulo y en cada iteración se va obteniendo un valor del flujo que va aumentando el camino, hasta que no se pueda aumentar más. Depende de tres puntos vitales:

Las restricciones de capacidad mencionadas son las siguientes:

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