Forma algebraica

En matemáticas, un polinomio homogéneo es un polinomio en que cada uno de sus términos (monomios) tienen el mismo grado; o sus elementos son de la misma dimensión. Por ejemplo, ${displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9x^{1}y^{4}}$ es un polinomio homogéneo de grado 5, en dos variables; la suma de los exponentes es siempre 5.

Una forma algebraica, o simplemente forma es otro nombre para un polinomio homogéneo. Un polinomio homogéneo de grado 2 es una forma cuadrática, y puede ser representado como una matriz simétrica. La teoría de las formas algebraicas es muy extensa, y tiene numerosas aplicaciones en todas las otras matemáticas y ciencias teóricas.

Los polinomios homogéneos en un espacio vectorial pueden ser construidos directamente a partir de tensores simétricos, y viceversa. Para espacios vectoriales definidos sobre los cuerpos de números reales o complejos, el sistema de polinomios homogéneos y los tensores simétricos son de hecho isomorfos. Este parentesco es usualmente expresados como sigue.

Siendo X e Y vectores del espacio vectorial, y T el mapa multilineal o tensor simétrico:

Se define el operador diagonal ${displaystyle Delta }$ como:

El polinomio homogéneo ${displaystyle {widehat {T}}}$ de grado n asociado con T es simplemente ${displaystyle {widehat {T}}=Tcirc Delta }$, de modo que

Escrito de esta manera, está claro que un polinomio homogéneo es una función homogénea de grado n. Esto, para un escalar a, uno tiene

Inversamente, dado un polinomio homogéneo ${displaystyle P}$, uno puede construir el tensor simétrico correspondiente ${displaystyle {check {P}}}$, el cual sigue inmediatamente una multilinearidad del tensor por medio de una fórmula polarizada:

${displaystyle {mathcal {L}}(X^{n},Y)}$ denota el espacio de tensores simétricos de rango n, y ${displaystyle {mathcal {P}}(X,Y)}$ denota el espacio de polinomios homogéneos de grado n. Si el vector espacial X e Y están encima de los números reales o complejos (o más generalmente, encima de un cuerpo de característica cero), luego esos dos espacios son isomórficos, con los mapeados dados por sombreros y comprobamos:

y

Forma algebraica, o simplemente forma, es otro término para polinomios homogéneos. Estos se utilizan generalmente para formas cuadráticas a de grados 3 y más, y en el pasado también fueron conocidos como cuantos. Al especificar el tipo de forma, uno tiene que dar su grado de una forma, y el número de variables n. Una forma está encima de algún campo K dado, si este va de Kⁿ a K, donde n es el número de variables de la forma.

Una forma encima de algún campo K en n variables representa 0 si en él existe un elemento

en Kⁿ semejante que por lo menos de

no es igual a cero.

El número de diferentes monomios homogéneos de grado M en N variables es ${displaystyle {frac {(M+N-1)!}{M!(N-1)!}}}$

La serie de Taylor de un polinomio homogéneo P ampliado al punto x puede ser escrito como

Otra identidad útil es

${displaystyle {egin{matrix}P(x)-P(y)=sum _{j=0}^{n-1}{n choose j}{check {P}}(&underbrace {y,y,dots ,y} &underbrace {(x-y),(x-y),dots ,(x-y)} ).\&j&n-j\end{matrix}}}$

Los polinomio homogéneos tuvieron un importante papel en las matemáticas del siglo XIX.

Las dos evidentes áreas donde se podría aplicar fueron la geometría proyectiva, y la teoría de números (en menor medida). El uso geométrico fue relacionado con teoría invariante.

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