Función eta de Dedekind

La función eta de Dedekind o simplemente función η de Dedekind, nombrada así en honor al matemático alemán Richard Dedekind es una función holomorfa definida en el semiplano superior complejo ${displaystyle mathbb {H} ={ au in mathbb {C} mid mathrm {Im} , au >0}}$ Esta función juega un papel fundamental en la teoría de funciones elípticas y funciones theta.

La función η suele definirse mediante el siguiente producto:

donde ${displaystyle q=e^{2pi i au }}$. De la definición se deduce inmediatamente que ${displaystyle eta }$ sobre ${displaystyle mathbb {H} }$ no tiene ceros.

La función η está estrechamente relacionada con su discriminante ${displaystyle Delta }$, de la siguiente manera

Para el cálculo de la función, se suele emplear el teorema del número pentagonal de Euler.

Las propiedades que se atribuyen a la función η se originan de su comportamiento de transformación en las sustituciones de los generadores del grupo modular

es decir:

y