Función simétrica monomial

Las funciones simétricas monomiales son una clase especial de funciones simétricas que forman la base más simple del espacio vectorial de funciones simétricas.

Si ${displaystyle lambda =(lambda _{1},lambda _{2},ldots ,lambda _{n})}$ es una partición, se construye el monomio

${displaystyle x^{lambda }=x_{1}^{lambda _{1}}x_{2}^{lambda _{2}}cdots x_{n}^{lambda _{n}}}$.

La suma de tales monomios sobre todas las permutaciones distintas de ${displaystyle lambda }$, da como resultado un polinomio simétrico denotado ${displaystyle m_{lambda },}$.

(Función simétrica monomial) La función simétrica monomial asociada a la partición ${displaystyle lambda vdash n}$ es la suma

${displaystyle m_{lambda }=sum _{sigma }x^{sigma },}$,

donde ${displaystyle sigma }$ recorre todas las permutaciones distintas de ${displaystyle lambda }$.

Las funciones simétricas monomiales en cuatro variables para las particiones más pequeñas son:

Obsérvese que en ${displaystyle m_{11}}$ sólo aparece ${displaystyle x_{1}x_{3}}$ y no ${displaystyle x_{3}x_{1}}$, porque ambas corresponden a la misma permutación ${displaystyle (1010)}$ de la partición ${displaystyle (1100)}$. En particular, se consideran todas las particiones de un entero ${displaystyle n}$ como si tuvieran ${displaystyle n}$ partes, añadiendo entradas cero de ser necesario.

Cualquier función simétrica en n variables

${displaystyle f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})=sum _{sigma }x^{sigma }}$

puede reescribirse en términos de funciones simétricas monomiales como

${displaystyle f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})=sum _{lambda }m_{lambda }}$,

por lo que el conjunto de funciones simétricas monomiales indizadas por las particiones de n

${displaystyle {m_{lambda }:lambda vdash n}}$

forma una base del espacio vectorial ${displaystyle Lambda _{n}}$ de funciones simétricas en n variables.

Una consecuencia de la relación anterior es el siguiente teorema.

La dimensión del espacio vectorial ${displaystyle Lambda _{n}}$ sobre ${displaystyle mathbb {Q} }$ de funciones simétricas en n variables es igual al número ${displaystyle p(n)}$ de particiones del entero n, y el conjunto de funciones simétricas monomiales es una base de dicho espacio vectorial.

---