Línea recta

En geometría euclidiana, la recta o la línea recta es una línea que se extiende en una misma dirección; por lo tanto, tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión continua de puntos extendidos en una sola dirección.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos, ya que su definición solo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Un ejemplo de las dificultades de la definición de la recta a partir de puntos es la llamada paradoja de Zenón de la dicotomía, que ilustraba la desaparición de la recta al dividirla en puntos porque luego no había un concepto para ensamblar dicha recta a partir de puntos, ya que la unión de dos puntos es un punto. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

En geometría analítica las líneas rectas en un plano pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano, mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor de la ordenada del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

Euclides, en su tratado denominado Los Elementos,^[1]​ establece varias definiciones relacionadas con la línea y la línea recta:

Se llama semirrecta^{[nota 1]}​ cada una de las dos partes en que queda dividida una recta al ser cortada en cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta, denominado origen, a partir del cual se extiende indefinidamente en una sola dirección.

La semirrecta opuesta de una semirrecta es la otra semirrecta salida de la recta que define la primera.^[5]​^[6]​

En un plano cartesiano, podemos representar una recta mediante una ecuación general definida en dicho plano, ya sea mediante coordenadas usando puntos y vectores, o bien funciones que especifican dichas coordenadas.

Dada una recta mediante un punto, ${displaystyle P=(x_{0},y_{0}),}$, y una pendiente ${displaystyle m,}$:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

donde ${displaystyle m}$ es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X.

a) La ecuación de la recta que pasa por el punto ${displaystyle A=(-5,3)}$ y que tiene una pendiente de ${displaystyle m=2}$ es:

Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos:

${displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})!}$

${displaystyle y-3=2(x-(-5))!}$

${displaystyle y-3=2(x+5)!}$

${displaystyle y-3=2x+10!}$

${displaystyle y-2x-3-10=0!}$

${displaystyle y-2x-13=0!}$

b) La ecuación de la recta que pasa por el punto ${displaystyle A=(2,-4)}$ y que tiene una pendiente de ${displaystyle m=-{frac {1}{3}}}$:

Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

${displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})!}$

${displaystyle y-(-4)=-1/3(x-2)!}$

${displaystyle 3(y+4)=-1(x-2)!}$

${displaystyle 3y+12=-x+2!}$

${displaystyle x+3y+12=2!}$

${displaystyle x+3y+10=0!}$

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, ${displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}$:

${displaystyle y-b=mx!}$

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos ${displaystyle b}$.

Recta que corta el eje ordenado en ${displaystyle b}$ y la abscisa en ${displaystyle a}$.

Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:

${displaystyle (0,b)!}$ y ${displaystyle (a,0)!}$

Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

${displaystyle m=left({frac {0-b}{a-0}} ight)={frac {-b}{a}}}$

Después se sustituye en la ecuación ${displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}$, usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):

${displaystyle ay=-bx+ab!}$

${displaystyle bx+ay=ab!}$

y dividiendo toda la ecuación entre el término independiente ${displaystyle ab}$:

${displaystyle {frac {bx}{ab}}+{frac {ay}{ab}}={frac {ab}{ab}}!}$

${displaystyle {frac {x}{a}}+{frac {y}{b}}=1!}$

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes.

La ecuación general de una recta está dada por la expresión ${displaystyle Ax+By+C=0!}$ con ${displaystyle A,B,Cin mathbb {R} !}$ y ${displaystyle B eq 0!}$,^[10]​ donde ${displaystyle {frac {-A}{B}}!}$ representa la pendiente de la recta y ${displaystyle {frac {-C}{B}}!}$ señala la ordenada en el origen, datos suficientes para representar cualquier recta en el plano cartesiano.

La forma normal de la recta (Ecuación de Hesse):

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas, el ángulo omega ω es el ángulo entre la perpendicular a la recta y la parte positiva del eje de abscisas.^[11]​

Si en lugar del ángulo de la normal ω se emplea el ángulo de la recta α, entre la recta y el eje de abscisas:

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas, el ángulo alfa α es el ángulo entre la recta y la parte positiva del eje de abscisas, cuya tangente expresa el valor de la pendiente de la recta.

Para obtener dicha ecuación a partir de una ecuación de la forma ${displaystyle Ax+By+C=0!}$, primero se ha de calcular:

al dividir los parámetros de la ecuación por ${displaystyle lambda }$ se obtiene que ${displaystyle cosomega ={frac {A}{lambda }}}$ y ${displaystyle senomega ={frac {B}{lambda }}}$. Finalmente ${displaystyle -d={frac {C}{lambda }}}$ sin excepción.^[12]​

Tomando el valor positivo o negativo de la raíz, según corresponda.

Para determinar el haz de las rectas del plano que pasan por el punto ${displaystyle P=(x_{0},y_{0}),}$ se usa la ecuación

La ecuación de la recta ha de ser:

Y ha de pasar por el punto ${displaystyle (x_{0},y_{0}),}$, luego tendrá que cumplirse:

Despejando b, tenemos esta ecuación:

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

Ordenando términos:

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto ${displaystyle (x_{0},y_{0})}$, el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz a excepción de la recta vertical por dicho punto.

Si pasa por dos puntos ${displaystyle (x_{1},y_{1})}$ y ${displaystyle (x_{2},y_{2})}$, donde ${displaystyle x_{1} eq x_{2}}$, la ecuación de la recta puede expresarse como:

Han de cumplir la fórmula general ${displaystyle y=mx+b,}$, resultando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas m y b:

eliminamos la incógnita b, despejando en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda:

agrupando términos:

despejando m:

este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos: ${displaystyle (x_{1},y_{1})}$ y ${displaystyle (x_{2},y_{2})}$. Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:

y sustituyendo m, por su valor ya calculado;

Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que pasar, entonces la ecuación general de la recta, con los parámetros ya calculados es:

Tenemos una recta ${displaystyle {overline {AB}}}$ dada por dos puntos ${displaystyle A(x_{A};y_{A})}$y ${displaystyle B(x_{B};y_{B})}$, de la cual queremos hallar ${displaystyle x}$ e ${displaystyle y}$ a lo largo de la misma. Obtenemos la pendiente ${displaystyle m_{overline {AB}}}$y utilizamos las fórmulas respectivas para hallarlas:

${displaystyle m_{overline {AB}}={y_{B}-y_{A} over x_{B}-x_{A}}}$

${displaystyle x={y-y_{A} over m_{overline {AB}}}+x_{A}}$

${displaystyle y=m_{overline {AB}}(x-x_{A})+y_{A}}$

Donde:

${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$: ordenada y abscisa a hallarse;

${displaystyle x_{A}}$, ${displaystyle y_{A}}$, ${displaystyle x_{B}}$, ${displaystyle y_{B}}$: ordenadas y abscisas respectivas de los puntos A y B de la recta ${displaystyle {overline {AB}}}$;

${displaystyle m_{overline {AB}}}$: pendiente de la recta ${displaystyle {overline {AB}}}$.

Para obtener las coordenadas del punto de intersección ${displaystyle (x_{I};y_{I})}$ de dos rectas ${displaystyle {overline {AB}}}$ y ${displaystyle {overline {CD}}}$, podemos utilizar las siguientes fórmulas.

${displaystyle x_{I}={(m_{overline {AB}}*x_{A})-y_{A}-(m_{overline {CD}}*x_{C})+y_{C} over m_{overline {AB}}-m_{overline {CD}}}}$

${displaystyle y_{I}=m_{overline {AB}}(x_{I}-x_{A})+y_{A}}$

Donde:

${displaystyle x_{I}}$ y ${displaystyle y_{I}}$: ordenada y abscisa de la intersección.

En coordenadas polares una recta que pasa a una distancia d > 0, tiene una ecuación dada por:

${displaystyle ho ( heta )={frac {d}{cos( heta - heta _{0})}}}$

Donde la pendiente de la recta viene dada por ${displaystyle 1/ an heta _{0}}$.

Dados dos puntos en el plano, P y Q, sobre una recta, se puede describir cada punto de ésta (es decir toda la recta) mediante la ecuación:

Dados ${displaystyle P=(1,2)}$ y ${displaystyle Q=(3,5)}$, entonces la recta son los puntos ${displaystyle (x,y)}$, tales que ${displaystyle x=1+lambda (3-1)}$ e ${displaystyle y=2+lambda (5-2)}$.

Dados un punto y un vector en el plano, P y ${displaystyle {vec {v}}}$, queda totalmente definida una recta mediante la ecuación:

Dados ${displaystyle P=(5,-2)}$ y ${displaystyle {vec {v}}=(3,1)}$(llamado vector director), entonces la recta son los puntos ${displaystyle (x,y)}$, tales que ${displaystyle x=5+lambda (3)}$ e ${displaystyle y=-2+lambda (1)}$.

Toda recta, ya sea de forma implícita, explícita o vectorial, se puede expresar como producto escalar de vectores:

es decir, renombrando las constantes:

Recta en el espacio usando un sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas:

Recta en el espacio usando un punto, ${displaystyle p=(p_{x},p_{y},p_{z})}$, y un vector, ${displaystyle u=(u_{x},u_{y},u_{z})}$:

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