El lema de serpiente es una herramienta utilizada en matemáticas, particularmente en álgebra homológica, para construir secuencias exactas largas. El lema de serpiente es válido en todas las categorías abelianas y es una herramienta crucial en el álgebra homológica y sus aplicaciones, por ejemplo en la topología algebraica. Los homomorfismos construidos con su ayuda son generalmente llamados homomorfismos conectores.
En una categoría abeliana (como la categoría de los grupos abelianos o la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado), se considera un diagrama conmutativo:
donde las filas son secuencias exactas y 0 es el objeto cero.
Entonces hay una secuencia exacta relacionando los núcleos y conúcleos de a, b, y c:
donde d es un homomorfismo, conocido como el homomorfismo conector.
Además, si el morfismo f es un monomorfismo, entonces también lo es el morfismo, ker a → ker b; y si g' es un epimorfismo, entonces también lo es coker b → coker c.
Para ver de dónde toma su nombre el lema de la serpiente, basta expandir el diagrama anterior como sigue:
Y entonces darse cuenta de que la secuencia exacta que surge como conclusión del lema puede ser dibujada en este esquema expandido en la forma de "S" invertida de una serpiente.
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