Ley del péndulo

Consideremos un péndulo cuyo brazo mide l, en el campo gravitacional de intensidad g (usualmente: 9,81 m.s^-2), y sujeto a pequeñas oscilaciones.
El período T de oscilación del péndulo es dado por la fórmula:

Sea θ el ángulo en radianes que hace el brazo con la vertical y m la masa del péndulo, al extremo de su brazo, que se mueve con la velocidad : v = l·θ'.

La energía cinética del péndulo es:

(1)${displaystyle E_{c}={frac {mv^{2}}{2}}={frac {ml^{2} heta ^{prime 2}}{2}}}$

Se puede tomar su energía potencial igual a:

(2)${displaystyle E_{p}=-mglcos( heta )}$

Este sistema no pierde energía, por la suma de energía cinética y potencia es constante (3)

(3)${displaystyle E_{c}+E_{p}}$

Al derivar (3) se obtiene:

(4)${displaystyle ml^{2} heta ^{prime } heta ^{prime prime }+mgl heta ^{prime }sin( heta )=0}$

Se puede simplificar (4) por m·l (no nulos) y por θ' (no idénticamente nulo), lo que da:

(5)${displaystyle l heta ^{prime prime }+gsin( heta )=0}$

Como se supone que θ es siempre pequeño, se puede reemplazar sen θ por θ cometiendo un error del orden de θ³ (porque sin θ = θ + O(θ³)).

Entonces (5) equivale a:

(6)${displaystyle l heta ^{prime prime }+g heta =0}$ o sea ${displaystyle heta ^{prime prime }=-left(g/l ight) heta }$

Un movimiento oscilatorio sigue la ley

${displaystyle heta = heta _{M}sin(omega t+phi )}$

lo que implica que

(7)${displaystyle heta ^{prime prime }=omega ^{2} heta }$

donde ${displaystyle omega }$es la velocidad angular de la ley y ${displaystyle heta _{M}}$ el ángulo máximo.

Identificando (6) y (7) se obtiene ${displaystyle omega ^{2}={frac {g}{l}}}$, es decir ${displaystyle omega ={sqrt {frac {g}{l}}}}$.

Concluimos recordando que ${displaystyle T={frac {2pi }{omega }}}$.