El menos uno (-1) es el número entero negativo que sigue al menos dos y precede al cero.
Multiplicar un número por −1 es equivalente a cambiar el signo del número. O sea, para todo x se tiene (−1) ⋅ x = −x. Lo cual se puede demostrar utilizando la propiedad distributiva y el axioma que 1 es el elemento neutro:
Donde se ha hecho uso de la propiedad de que todo número x multiplicado por 0 es igual a 0, lo cual se deduce de la cancelación a partir de la ecuación
En otras palabras,
por lo que (−1) ⋅ x es la inversa aditiva de x, o sea (−1) ⋅ x = −x, como se demostró previamente.
El cuadrado de −1, o sea −1 multiplicado por −1, es 1. Por lo tanto, el producto de dos número negativos es positivo.
Una demostración algebraica de este resultado, comienza con la ecuación
La primera igualdad se deriva del resultado precedente, y la segunda es consecuencia de la definición de que −1 es el inverso aditivo de 1: es precisamente aquel número que al ser sumado a 1 da 0. Utilizando la propiedad distributiva, se tiene que
La tercera igualdad se establece a partir del hecho que 1 es el neutro multiplicativo. Pero ahora sumando 1 a ambos términos de esta ecuación se obtiene
La demostración previa es válida para todo anillo, un concepto del álgebra abstracta que generaliza números enteros y reales.
Si bien no existen raíces cuadradas de −1, el número complejo i satisface i2 = −1, y por lo tanto puede ser considerado como la raíz cuadrda de −1. El único otro número complejo cuyo cuadrdao es −1 es −i porque existen exactamente dos raíces cuadrdas de todo número complejo distinto de cero, lo cual es una consecuencia del teorema fundamental del álgebra. En el álgebra de cuaterniones – en la cual el teorema fundamental no es válido – que contiene los números complejos, la ecuación x2 = −1 posee un número infinito de soluciones.
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