Modelo Tobit

El modelo Tobit es un modelo estadístico propuesto por James Tobin (1958) para describir la relación entre una variable dependiente no negativa ${displaystyle y_{i}}$ y una variable independiente (o vector ) ${displaystyle x_{i}}$. El término Tobit fue derivado del nombre truncando de Tobin y añadiendo, por analogía, el it como en el modelo probit o en el modelo logit.^[1]​

El modelo supone que existe una variable latente (no observable por ejemplo) ${displaystyle y_{i}^{*}}$. Esta variable depende linealmente de ${displaystyle x_{i}}$ a través de un parámetro(vector) ${displaystyle eta }$ que determina la relación entre la variable independiente (o vector) ${displaystyle x_{i}}$ y la variable latente ${displaystyle y_{i}^{*}}$ (Tal como en un modelo lineal). Además, hay un término de error ${displaystyle u_{i}}$ con una distribución normal para captar las influencias aleatorias en esta relación. La variable observable ${displaystyle y_{i}}$ se define como igual a la variable latente cuando la variable latente es superior a cero y cero en caso contrario.

donde ${displaystyle y_{i}^{*}}$ es una variable latente:

Si el parámetro de relación ${displaystyle eta }$ se estima mediante una regresión de lo observado ${displaystyle y_{i}}$ en ${displaystyle x_{i}}$, el resultado obtenido usando el estimador de mínimos cuadrados ordinarios es inconsistente. Esto dará lugar a una estimación a la baja de polarización del coeficiente de la pendiente hacia arriba y una estimación sesgada de la intersección. Takeshi Amemiya (1973) ha demostrado que el estimador de máxima verosimilitud propuesto por Tobin para este modelo es consistente.

La ${displaystyle eta }$ del coeficiente no debe interpretarse como el efecto de los ${displaystyle x_{i}}$ en ${displaystyle y_{i}}$, como uno haría con un modelo de regresión lineal , lo que es un error común. En su lugar, debe interpretarse como la combinación de (1) el cambio en ${displaystyle y_{i}}$ de aquellos por encima del límite, ponderados por la probabilidad de estar por encima del límite, y (2) el cambio en la probabilidad de estar por encima del límite, ponderado por el valor esperado de ${displaystyle y_{i}}$ si es superior.^[2]​

Las variaciones del modelo Tobit pueden ser producidas mediante el cambio de dónde y cuándo se produce la censura. Amemiya (1985) clasifica estas variaciones en cinco categorías (Tobit tipo I - Tobit tipo V), donde Tobit tipo I representa el primer modelo descrito anteriormente. Schnedler (2005) proporciona una fórmula general para obtener estimadores consistentes de probabilidad para estas y otras variaciones del modelo Tobit.

El modelo Tobit es un caso especial de un modelo de regresión censurada , ya que la variable latente ${displaystyle y_{i}^{*}}$ no puede siempre ser observada mientras que la variable independiente ${displaystyle x_{i}}$ es observable. Una variante común del modelo Tobit está censurando a un valor ${displaystyle y_{L}}$ diferente de cero:

Otro ejemplo es la censura de los valores anteriores ${displaystyle y_{U}}$.

Sin embargo, otro modelo resulta cuando ${displaystyle y_{i}}$ se censura desde arriba y abajo al mismo tiempo.

El resto de los modelos se presenta como estando limitada desde abajo a 0, aunque esto se puede generalizar como lo hemos hecho en Tipo I.

Tipo II modelos Tobit introducir una variable latente segundo.

Heckman (1987) cae en el tipo II Tobit. En el tipo Tobit I, la variable latente absorbe tanto el proceso de participación y los "resultados" de interés. En el Tipo Tobit II permite que el proceso de participación / selección y el proceso de "resultado" sean independientes, condicionado a x.

Tipo III introduce una segunda variable dependiente observada

El modelo Heckman cae en este tipo.

Tipo IV introduce tercera variable observada dependiente y una variable latente tercero.

Semejante al II, Tipo V, solo observar el signo de ${displaystyle y_{1i}^{*}}$.

A continuación se presentan la Función de verosimilitud y las funciones de registro de probabilidad para un tipo que Tobit. Este es un Tobit censurado desde abajo en ${displaystyle y_{L}}$ cuando la variable latente ${displaystyle y_{j}^{*}leq y_{L}}$. Al escribir la función de verosimilitud, primero definimos una función indicadora ${displaystyle I(y_{j})}$ donde:

A continuación, nos referimos ${displaystyle Phi }$ a ser el normal estándar función de distribución acumulativa y ${displaystyle phi }$ a ser el normal estándar función de densidad de probabilidad . Para un conjunto de datos con n observaciones de la función de verosimilitud para un tipo que Tobit es:

y la probabilidad de registro está dada por

Tenga en cuenta que esto es diferente de la función de verosimilitud del modelo de regresión truncada.^[3]​

Si la variable subyacente latente ${displaystyle y_{i}^{*}}$ no se distribuye normalmente, se deben usar cuantiles en lugar de momentos para analizar la variable observable { displaystyle y_ {i}} y_ {i} . El estimador CLAD de Powell ofrece una forma posible de lograr esto.^[4]​