Modelo autorregresivo de media móvil

En estadística, los modelos autorregresivos de media móvil (en inglés AutoRegressive Moving Average models, abreviados ARMA), también llamados Modelos Box-Jenkins, se aplican a series temporales de datos.

Dada una serie temporal de datos X_t, el modelo ARMA es una herramienta para entender y, aún más, para predecir futuros valores de la serie. El modelo está formado por dos partes, una parte autorregresiva (AR) y otra de media móvil (MA). El modelo se conoce con el nombre de modelo ARMA (p,q), donde p es el orden de la parte autorregresiva y q es el orden de la parte de media móvil.

La notación AR(p) se refiere a un modelo autorregresivo de orden p. Un modelo AR(p) puede escribirse como:

donde ${displaystyle phi _{1},ldots phi _{p}}$ son los parámetros del modelo, ${displaystyle c}$ es una constante y ${displaystyle epsilon _{t}}$ es un término de error. Muchos autores omiten el término constante, para fines de simplificación.

Un modelo autorregresivo es esencialmente un filtro de respuesta infinita al impulso IIR, con determinada interpretación adicional.

Se debe tener en cuenta que es necesario imponer ciertas restricciones a los valores de los parámetros de este modelo para que funcione correctamente (proceso estacionario). Por ejemplo, en un modelo AR(1), si |φ₁| > 1 el modelo no tendrá un buen comportamiento.

Un proceso AR(1) está dado por:

donde ${displaystyle epsilon _{t}}$ es un proceso de ruido blanco con media cero y varianza ${displaystyle sigma ^{2}}$. (Nota: El subíndice en ${displaystyle phi _{1}}$ se omitió.) El proceso es de covarianza estacionaria si ${displaystyle |phi |<1}$. Si ${displaystyle phi =1}$, entonces ${displaystyle X_{t}}$ tiene una raíz unitaria. El cálculo de la esperanza de ${displaystyle X_{t}}$ es directo. Asumiendo la covarianza estacionaria, tenemos:

entonces:

donde ${displaystyle mu }$ es la media. La varianza es:

La función de autocorrelación viene dada por:

Se puede ver que la función de autocorrelación decrece con un intervalo de decrecimiento de ${displaystyle au =-1/ln(phi )}$.

La función de densidad espectral es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación. En términos discretos, ésta sería la transformada de Fourier de tiempo discreto:

Esta expresión contiene aliasing debido a la naturaleza discreta de ${displaystyle X_{j}}$. Si asumimos que el intervalo de la muestra es mucho menor que el intervalo de decrecimiento (${displaystyle au ll 1}$), entonces podemos utilizar una aproximación continua a ${displaystyle B_{n}}$:

que da un perfil Lorentzian para la densidad espectral:

donde ${displaystyle gamma =1/ au }$ es la frecuencia angular asociada con el intervalo de decrecimiento ${displaystyle au }$.

Una expresión alternativa para ${displaystyle X_{t}}$ se puede obtener substituyendo primero ${displaystyle c+phi X_{t-2}+epsilon _{t-1}}$ por ${displaystyle X_{t-1}}$ en la ecuación de definición.

Continuando este proceso N veces, obtenemos:

Cuando N tiende a infinito, ${displaystyle phi ^{N}}$ tiende a cero y:

Véase que ${displaystyle X_{t}}$ es ruido blanco convolucionado con ${displaystyle phi ^{k}}$ más la constante de la media. Por el teorema del límite central, ${displaystyle X_{t}}$ será distribuido normalmente como cualquier muestra de ${displaystyle X_{t}}$, que es más grande que el intervalo de decrecimiento de la función de autocorrelación.

La notación MA(q) se refiere a un modelo de media móvil de orden q.

donde θ₁, ..., θ_q son los parámetros del modelo y ε_t, ε_t-1,... son, de nuevo, los términos de error.

Un modelo de medias móviles es esencialmente un filtro de respuesta finita al impulso FIR, con cierta interpretación adicional.

La notación ARMA(p, q) se refiere a un modelo con p términos autorregresivos y q términos de media móvil. Este modelo combina los modelos AR y MA:

Habitualmente se asume que los términos de error ε_t son variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas, tomadas de una muestra con distribución normal de media cero: ε_t ~ N(0,σ²), donde σ² es la varianza. Estas suposiciones pueden ser frágiles y, si no se cumplen, pueden cambiar las propiedades del modelo. De hecho, un cambio en la suposición de independencia y distribución idéntica podría dar lugar a una diferencia considerable.

En algunos textos los modelos se especifican en términos del operador retardo L. En estos términos, el modelo AR(p) viene dado por:

donde ${displaystyle phi }$ representa el polinomio

Un modelo MA(q) viene dado por:

donde θ representa el polinomio

Por último, el modelo combinatorio ARMA viene dado por

o, de forma más concisa,

En general, tras seleccionar p y q, los modelos ARMA pueden ajustarse mediante regresión de mínimos cuadrados para encontrar los valores de los parámetros que minimizan el término de error. Se considera generalmente una buena práctica encontrar los valores menores de p y q que proporcionan un ajuste aceptable a los datos. Para un modelo puro AR, deben utilizarse las ecuaciones Yule-Walker para proporcionar un ajuste.

La dependencia de X_t de valores pasados y en los términos de error ε_t se asume que es lineal, salvo que se especifique lo contrario. Si la dependencia no es lineal, entonces el modelo se llama específicamente modelo de media móvil no lineal (NMA), modelo autorregresivo no lineal (NAR) o modelo autorregresivo de media móvil no lineal (NARMA).

Los modelos autorregresivos de media móvil pueden generalizarse con otros métodos. Véanse también los modelos ARCH (modelos de heterocedasticidad condicional autorregresivos) y los modelos autorregresivos integrados de medias móviles ARIMA (modelos autorregresivos integrados de medias móviles). Si tenemos que ajustar múltiples series temporales, entonces se puede ajustar un modelo vectorial ARIMA (VARIMA). Si las series temporales en cuestión muestran una memoria lejana, entonces es apropiado un modelo ARIMA fraccional (FARIMA, a veces denominado ARFIMA). De pensar que los datos presentan estacionalidad, entonces debe usarse un modelo SARIMA.

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