Número superreal

En análisis matemático y álgebra abstracta, los números superreales son una extensión de los números reales, introducida por H. Garth Dales y W. Hugh Woodin como generalización de los números hiperreales cuyo interés fundamental aparece en análisis no estándar, teoría de modelos y el estudio de las álgebras de Banach. Algebraicamente constituyen un cuerpo que de hecho es un subcuerpo de los números surreales:

Los superreales de Dales y Woodin se diferencia de los super-reales de David O. Tall, que no son otra cosa que el cuerpo fracciones de las series de potencias formales con coeficientes den los reales dotadas de un orden lexicográfico^[1]​

Supóngase que X es un espacio de Tikhonov, también llamado un espacio T_3.5, y sea C(X) el álgebra de funciones reales definidas sobre X. Dentro de esta álgebra búsquese un ideal primo ${displaystyle Psubset C(X)}$, y búsquese el álgebra cociente A = C(X)/P que por definición es un dominio de integridad y un álgebra sobre los reales que además puede ser considerada un conjunto totalmente ordenado. El cuerpo de fracciones F de esta álgebra A es precisamente el cuerpo de los números superreales, si dicho cuerpo de fracciones contiene estrictamente un conjunto identificable con los números reales ${displaystyle mathbb {R} }$, de tal manera que F no es isomorfo en orden a ${displaystyle mathbb {R} }$. Si el ideal P es además un ideal primo y por tanto un ideal maximal, entonces F coincide con el cuerpo de los números hiperreales de A. Robinson. Por lo cual los números hiperreales pueden considerarse un caso particular de números superreales.