Números algebraicos

Un número algebraico es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación algebraica^[1]​ de la forma:

${displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+dots +a_{1}x+a_{0}=0,}$

Donde:

Se dice que un número algebraico es de grado ${displaystyle n}$ si es raíz de una ecuación algebraica de grado ${displaystyle n}$, pero no lo es de una ecuación algebraica de grado ${displaystyle n-1}$.

Los números racionales son números algebraicos de primer grado, pues para todo racional ${displaystyle r={frac {p}{q}}; p,qin mathbb {Z} }$, siempre podemos escribir una ecuación polinómica de grado uno con coeficientes enteros ${displaystyle qcdot x-p=0}$ cuya solución es precisamente ${displaystyle r}$.

En cambio, los irracionales — aunque pueden ser números algebraicos — nunca pueden ser números algebraicos de grado ${displaystyle n=1}$.

El conjunto de los números algebraicos es contable, i.e. puede establecerse una biyección con el conjunto de los números naturales.

La suma, la diferencia, el producto o el cociente de dos números algebraicos resulta ser número algebraico, y, por lo tanto, los números algebraicos constituyen un grupo aditivo abeliano, un anillo con unidad y un cuerpo matemático. Por lo tanto, el conjunto de los números algebraicos es un subcuerpo del cuerpo matemático los números complejos.^[4]​ Ciertamente la suma de un número racional y un radical es un número algebraico; por ejemplo ${displaystyle {frac {2}{5}}+{sqrt[{3}]{7}}}$.

De modo si ${displaystyle s}$ y ${displaystyle t}$ son números algebraicos lo son también ${displaystyle s+t}$ y ${displaystyle scdot t}$; para ${displaystyle s}$ existe el número algebraico ${displaystyle -s}$ tal que ${displaystyle s+(-s)=0}$; para ${displaystyle s eq 0}$ existe ${displaystyle s'}$ tal que ${displaystyle scdot s'=1}$. 0 es la identidad aditiva, 1 la identidad multiplicativa.^[5]​ El teorema fundamental del álgebra asegura que toda ecuación polinómica, con coeficientes enteros, tiene solución en ℂ, tiene tantas raíces como indica el grado, tomando en cuenta que algunas raíces pueden repetirse,^[6]​ no se dice el formato del número algebraico, de hecho calculables por procedimiento de análisis numérico.^[7]​

Como consecuencia de lo anterior, todos los números que pueden escribirse a partir de los racionales empleando solamente las operaciones aritméticas suma, diferencia, producto y división cuyos símbolos son ${displaystyle +,-, imes ,/}$ respectivamente, así como las potencias y raíces, son algebraicos. Sin embargo, existen números algebraicos que no pueden, en todos los casos, escribirse de esta forma, y son todos de grado mayor o igual 5. Esta es una consecuencia de la Teoría de Galois.

Puede demostrarse que si los coeficientes ${displaystyle a_{i}}$ son números algebraicos cualesquiera, la solución de la ecuación volverá a ser un número algebraico. En otras palabras, el cuerpo de los números algebraicos es algebraicamente cerrado. De hecho, los números algebraicos son el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene los racionales (su clausura algebraica). El conjunto de los números algebraicos, a veces denotado como ${displaystyle mathbb {A} }$, forma un cuerpo con la adición y multiplicación heredadas de los complejos ${displaystyle mathbb {C} }$. A diferencia de los números complejos los números algebraicos son un conjunto numerable^[8]​ y por tanto su cardinal es alef 0). Esto es una consecuencia de que el conjunto de polinomios con coeficientes enteros es numerable.

Un número algebraico que satisface una ecuación polinómica de grado ${displaystyle n}$ con ${displaystyle a_{n}=1}$ se denomina entero algebraico. Algunos ejemplos de enteros algebraicos son: ${displaystyle 3cdot 2^{frac {1}{2}}+5}$, ${displaystyle 6i-2}$. La suma, diferencia y producto de enteros algebraicos vuelve a ser un entero algebraico, lo que significa que los enteros algebraicos forman un anillo. El nombre de entero algebraico proviene del hecho de que los únicos números racionales que son enteros algebraicos son los propios enteros.

Las nociones de número algebraico y de entero algebraico pueden ser generalizadas a otros cuerpos, no solo aplican al de los complejos; véase extensión algebraica.

En general, si tenemos dos cuerpos ${displaystyle (K,+,cdot )}$ y ${displaystyle (L,+,cdot )}$ de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que ${displaystyle alpha in L}$ es algebraico sobre ${displaystyle K}$ si existe un polinomio ${displaystyle pin K[x]}$ del que ${displaystyle alpha ,}$ es raíz (${displaystyle p(alpha )=0,}$).

Leonhard Euler dividió los números en algebraicos y trascendentes en 1748. En 1844 Liouville obtuvo el primer criterio necesario para que un número sea algebraico, y, por consiguiente, un criterio suficiente para que sea un número trascendente. La teoría general de los números algebraicos enteros fue realizada, casi al mismo tiempo, por Dedekind (1877 -1895) y Zolotariov (1874). El cimiento de esta teoría fue construido por Kummer. ^[9]​