Notación flecha de Knuth

En matemáticas, la notación flecha de Knuth es un método de notación para enteros muy grandes, introducido por Donald Knuth en 1976.^[1]​ Está estrechamente relacionada con la función de Ackermann y especialmente a la sucesión de hiperoperaciones. La idea está basada en el hecho de que la multiplicación puede ser vista como una adición iterada y la potenciación como una multiplicación iterada. Continuando de esta manera, se llega a la potenciación iterada (tetración) y al resto de la sucesión de hiperoperaciones, la cual es generalmente denotada usando la notación flecha de Knuth.

Las operaciones aritméticas normales de adición, multiplicación, y potenciación es naturalmente extendida a una sucesión de hiperoperaciones como sigue.

La multiplicación por un número natural está definida como una adición iterada:

Por ejemplo,

La potenciación para un exponente natural ${displaystyle b}$ se define como una multiplicación iterada, que Knuth denota por una sola flecha arriba:

Por ejemplo,

Para ampliar la secuencia de operaciones más allá de la potenciación, Knuth definió un operador "doble flecha" para denotar la potenciación iterada (tetración):

Por ejemplo,

Aquí y a continuación la evaluación se llevará a cabo de derecha a izquierda, así los operadores flecha de Knuth (como la potenciación) se definen como asociativos por derecha.

De acuerdo a esta definición,

Esto conduce ya a unos números bastante grandes, pero Knuth ampliado de la notación. Pasó a definir un operador "triple flecha" para tetración iterada (pentación):

seguido por un operador "cuádruple flecha" para definir la pentación iterada (hexación):

y así sucesivamente. La regla general es que un ${displaystyle n}$operador flecha se expande hacia una asociativa por derecha de la serie de (${displaystyle n-1}$)operadores-flecha. Simbólicamente,

Ejemplos:

La notación ${displaystyle auparrow ^{n}b}$ se utiliza comúnmente para denotar ${displaystyle auparrow uparrow dots uparrow b}$ con n flechas. De hecho, ${displaystyle auparrow ^{n}b}$ es a [n+2] b con hiperoperación. Por ejemplo, ${displaystyle 39uparrow uparrow 14}$ también puede ser escrito como 39 [4] 14, la "[4]" significa tetración, pero no igual a 39 [2] 14 = 39 × 14 = 546, del mismo modo, ${displaystyle 77uparrow ^{77}77=}$ 77 [79] 77 en lugar de 77 [77] 77.

En expresiones como a ${displaystyle a^{b}}$, la notación de la potenciación es usualmente es por lo general escribir el exponente ${displaystyle b}$ como superíndice de la base ${displaystyle a}$. Pero en muchos entornos — como en los lenguajes de programación y e-mails de texto plano — no son compatibles con composición tipográfica de superíndice. La gente ha adoptado la notación lineal ${displaystyle auparrow b}$ para tales entornos; la flecha hacia arriba sugiere «elevado a» el exponente indicado. Si el juego de caracteres no contiene una flecha hacia arriba, el caret (^) se utiliza en su lugar.

La notación de superíndice ${displaystyle a^{b}}$ no se presta bien a la generalización, lo que explica por qué Knuth eligió desarrollar la notación flecha ${displaystyle auparrow b}$ en su lugar.

${displaystyle auparrow ^{n}b}$ es una notación alternativa más corta para n flechas. Así ${displaystyle auparrow ^{4}b=auparrow uparrow uparrow uparrow b}$.

Intentar escribir ${displaystyle auparrow uparrow b}$ usando la familiar notación de superíndice da una torre de potencias.

Si b es una variable (o es demasiado grande), la torre de potencias podría ser escrita utilizando puntos y una nota que indique la altura de la torre.

Continuando con esta notación, ${displaystyle auparrow uparrow uparrow b}$ puede ser escrito con una pila de tales torres de potencias, cada uno describiendo el tamaño de la pila que está por encima de ella.

De nuevo, si b es una variable o es demasiado grande, la pila podría ser escrita utilizando puntos y una nota indicando su altura.

Por otra parte, ${displaystyle auparrow uparrow uparrow uparrow b}$ podría escribirse usando varias columnas de dichas pilas de torres de potencias, cada columna describe el número de torres de potencias en la pila a su izquierda:

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