Operador diferencial

En matemáticas, un operador diferencial es un operador lineal definido como una función del operador de diferenciación. Ayuda, como una cuestión de notación, considerar a la diferenciación como una operación abstracta, que acepta una función y regresa otra.

Supongamos que hay un mapa ${displaystyle A}$ de un espacio de funciones ${displaystyle F_{1}}$ a otro espacio de funciones ${displaystyle F_{2}}$ y una función ${displaystyle fin F_{2}}$ de forma que ${displaystyle f}$ sea la imagen de ${displaystyle uin F_{1}}$, es decir, ${displaystyle f=A(u)}$. Un operador diferencial se representa como una combinación lineal, finitamente generada por y sus derivados que contienen un grado más alto tal como

donde el conjunto de enteros no negativos ${displaystyle alpha =(alpha _{1},alpha _{2},cdots ,alpha _{n})}$ se llama un multi-índice, ${displaystyle |alpha |=alpha _{1}+alpha _{2}+cdots +alpha _{n}}$ se llama longitud, ${displaystyle a_{alpha }(x)}$ son funciones de algún dominio abierto en el espacio n-dimensional y ${displaystyle D^{alpha }=D_{1}^{alpha _{1}}D_{2}^{alpha _{2}}cdots D_{n}^{alpha _{n}}}$. La derivada anterior es una como funciones o, a veces, distribuciones o hiperfunciones y ${displaystyle D_{j}=-i{frac {partial }{partial x_{j}}}}$ o a veces, ${displaystyle D_{j}={frac {partial }{partial x_{j}}}}$.

El uso más común del operador diferencial es realizar la derivada en sí misma. Las notaciones comunes de este operador incluyen:

${displaystyle {d over dx},quad D_{x},quad D,}$

Las dos primeras se usan fundamentalmente cuando se quiere hacer explícita la variable respecto a la cual se toman las derivadas ordinarias, la última forma sólo se usa cuando por el contexto está claro cuál es la variable respecto a la que se deriva (sin necesidad de explicitarla). Las primeras derivadas se toman como arriba, pero para las derivadas de orden superior, las n-ésimas, son útiles los siguientes cambios:

${displaystyle {frac {d^{2}}{dx^{2}}}u,{frac {d^{3}}{dx^{3}}}u,...}$

${displaystyle u'',u''',...}$

${displaystyle {ddot {u}},{overset {...}{u}},...}$

Otro operador diferencial es el operador Θ, o operador theta, definido por

${displaystyle Theta =z{frac {d}{dz}}}$

Esto a veces también se llama el operador de homogeneidad, porque sus funciones propias son los monomios en z:

${displaystyle Theta (z^{k})=kz^{k},k=0,1,2,...}$

En n variables el operador de homogeneidad está dado por

${displaystyle Theta =sum _{k=1}^{n}x_{k}{frac {eth }{eth x_{k}}}}$

Como en una variable, los de Θ son los espacios de polinomios homogéneos.

${displaystyle {egin{cases}{mathcal {L}}:C^{1}(Omega ) o C^{0}(Omega )&Omega subset mathbb {R} \{mathcal {L}}(f)(x)=sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}f(x)&xin Omega end{cases}}}$

Donde:

en su estudio de las ecuaciones diferenciales.

${displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),qquad D(af)=a(Df)}$

${displaystyle D_{1}circ D_{2}(f)=D_{1}(D_{2}(f))}$

Dado un operador diferencial lineal sobre un espacio de funciones reales de una sola variable real con condiciones de contorno homogénea, en el que todas las funciones que intervienen son continuas, existe un operador inverso que es un operador integral.

Dicho operador inverso vienen dado por la función de Green. Explicitémoslo considerando una ecuación diferencial de orden n sin constante :

${displaystyle {egin{cases}{mathcal {L}}{y(x)}=f(x)&y(x)in {mathcal {D}}\{mathcal {D}}={zin C^{1}(mathbb {R} )|sum _{j=0}^{n}a_{ij}D^{j}(z)=b_{i}}&iin {0,dots ,n}end{cases}}}$

En este caso existe un operador integral ${displaystyle {mathcal {K}}}$ dado por:

${displaystyle y(x)={mathcal {K}}{f(x)}=int _{-infty }^{+infty }G({ar {x}},x)f(x)d{ar {x}}}$

Tal que se cumple:

${displaystyle {mathcal {Kcirc L}}{z}={mathcal {Lcirc K}}{z}=z(x),quad forall zin {mathcal {D}}}$

El operador diferencial del, también llamado operador nabla, es un importante operador diferencial vectorial. Aparece frecuentemente en la física en lugares como la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell. En coordenadas cartesianas tridimensionales, del se define:

${displaystyle abla ={widehat {x}}{frac {eth }{eth x}}+{widehat {y}}{frac {eth }{eth y}}+{widehat {z}}{frac {eth }{eth z}}}$

Del se utiliza para calcular el gradiente de campos escalares; el rotacional y la divergencia de campos vectoriales; y el Laplaciano tanto de campos escalares como de campos vectoriales.

Análogamente al caso de una variable, cuando se consideran derivadas respecto a variables diferentes las derivadas parciales pueden escribirse como:

${displaystyle {partial over partial x_{i}}=partial _{x_{i}}=partial _{i},qquad {partial ^{n} over partial x_{i_{1}}dots partial x_{i_{n}}}=partial _{x_{i_{1}},dots ,x_{i_{n}}}^{n}=partial _{i_{1},dots ,i_{n}}^{n}}$

Además con derivadas parciales, se pueden hacer las mismas construcciones que en el caso de una variable. La derivación con respecto a variables distintas da como lugar a operadores que conmutan (ver teorema de Clairaut).

Un operador lineal en derivadas parciales de orden n tiene la forma:

${displaystyle {mathcal {L}}=sum _{k=0}^{n}a_{i_{1}dots i_{k}}(x)partial _{i_{1}dots i_{k}}^{k}(cdot )}$

Uno de los operadores diferenciales que se ve con más frecuencia es el operador laplaciano, que en coordenadas cartesianas se expresa

${displaystyle Delta =sum _{k=1}^{n}{partial ^{2} over partial x_{k}^{2}}= abla ^{2}}$

Si Ω es un dominio en Rn y P un operador diferencial en Ω, entonces el adjunto de P se define en L2 (Ω) por la dualidad de la manera análoga:

Para todas las funciones L2 suaves f, g. Como las funciones suaves son densas en L2, esto define el adjunto en un subconjunto denso de L2: P * es un operador densamente definido.

Si Ω es un dominio en Rn y P un operador diferencial en Ω, entonces el adjunto de P se define en L2 (Ω) por la dualidad de la manera análoga:

En la geometría diferencial y la geometría algebraica es con frecuencia conveniente tener una descripción independiente de las coordenadas de los operadores diferenciales entre dos grupos vectoriales. Sean E y F dos grupos de vectores sobre una variedad diferenciable M. Un operador es un mapeo de secciones, ${displaystyle P:Gamma (E) ightarrow Gamma (F),!}$ que se mapea el tallo o fibra de un fibrado de los gérmenes de ${displaystyle Gamma (E),!}$ en el punto ${displaystyle xin M,!}$ a la fibra de F en x:

${displaystyle P:Gamma _{x}(E) ightarrow F_{x},!}$.

Se dice que un operador P es un operador diferencial de orden k-ésimo si los factores a través del chorro del fibrado ${displaystyle J^{k}(E),!}$. En otras palabras, existe un mapeo lineal de conglomerados vectoriales

${displaystyle i_{P}:J^{k}(E) ightarrow F,!}$

tal que ${displaystyle P=i_{P}circ j^{k}}$ como en la siguiente composición:

${displaystyle P:Gamma _{x}(E) ightarrow J^{k}(E)_{x} ightarrow F_{x},!}$.

Si R es un anillo,${displaystyle R(D,X)}$ ser el anillo polinomial no conmutativo sobre R en la variable D y X, e I el ideal bidireccional Generado por DX-XD-1, entonces el anillo de operadores diferenciales polinomiales univariados sobre R es el anillo cociente ${displaystyle R(D,X)/I}$. Este es un anillo simple no conmutativo. Todos los elementos pueden escribirse de una manera única como una combinación R-lineal de monomios de la forma ${displaystyle X^{a}D^{b}modI}$. Apoya un análogo de la división euclidiana de polinomios.

Los módulos diferenciales ${displaystyle R[X]}$ (para la derivación estándar) se pueden identificar con módulos sobre ${displaystyle R(D,X)/I}$

Si R es un anillo,${displaystyle R(D_{1},...,D_{n},X_{1},...,X_{n})}$ ser el anillo polinomial no conmutativo sobre R en las variables ${displaystyle (D_{1},...,D_{n},X_{1},...,X_{n})}$ y I el ideal de dos caras generado por los elementos ${displaystyle D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i}-delta _{i,j}D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i},X_{j}X_{i}}$para todos ${displaystyle 1leq i,jleq n}$ donde ${displaystyle delta }$ es Kronecker delta, entonces el anillo de operadores diferenciales polinomiales multivariantes sobre R es el anillo cociente ${displaystyle R(D_{1},...,D_{n},X_{1},...,X_{n})/I}$

Este es un anillo simple no conmutativo. Cada elemento se puede escribir de una manera única como una combinación R-lineal de monomios de la forma ${displaystyle X_{1}^{a1}...X_{n}^{an}D_{1}^{b1}...D_{n}^{bn}}$

En geometría diferencial y geometría algebraica a menudo es conveniente tener una descripción independiente de coordenadas de operadores diferenciales entre dos haces vectoriales. Sea E y F dos haces vectoriales sobre un múltiple diferenciable M. Se dice que un mapeo R-lineal de secciones P: Γ (E) → Γ (F) es un operador diferencial lineal de orden k si factoriza a través del haz de chorro Jk (E). En otras palabras, existe un mapeo lineal de haces vectoriales

${displaystyle ip:J^{k}(E)longrightarrow F}$

Tal que

${displaystyle P=ipoj^{k}}$

Donde jk: Γ (E) → Γ (Jk (E)) es la prolongación que se asocia a cualquier sección de E su k-jet.

Esto sólo significa que para una sección dada de E, el valor de P (s) en un punto x ∈ M está completamente determinado por el comportamiento infinitesimal de orden k de s en x. En particular, esto implica que P (s) (x) está determinada por el germen de s en x, que se expresa diciendo que los operadores diferenciales son locales. Un resultado fundamental es el teorema de Peetre que muestra que lo contrario también es cierto: cualquier operador local (lineal) es diferencial.

Una descripción equivalente, pero puramente algebraica, de los operadores diferenciales lineales es la siguiente: un mapa lineal R lineal P es un operador diferencial lineal de orden k, si para cualquier función lisa k + 1 ${displaystyle f_{0},...,f_{k}in C^{infty }(M)}$ tenemos

${displaystyle [f_{k},[f_{k-1},[...[f_{0},P]...]]]=0.}$

Aquí el corchete ${displaystyle [f,P]:Gamma (E) ightarrow (F)}$ se define como el conmutador

${displaystyle [f,P](s)=P(fcenterdot s)-fcenterdot P(s)}$

Esta caracterización de los operadores diferenciales lineales muestra que son mapeos particulares entre módulos sobre un álgebra conmutativa, permitiendo que el concepto sea visto como una parte del álgebra conmutativa.

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