Palabra (matemáticas)

En matemáticas, una palabra es una sucesión ordenada de elementos tomados de un conjunto fijo de símbolos denominado alfabeto.

Por ejemplo, si X={a,e,i,o,u} es el conjunto alfabeto, todos los siguientes son ejemplos de palabras:

El número de elementos de una palabra se denomina la longitud de la misma.

Se define el concepto de palabra como sigue:^[1]​

Si A es un conjunto, denominado alfabeto, una palabra sobre el alfabeto A es una sucesión ${displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},ldots ,a_{n}}$ en que cada entrada ${displaystyle a_{k}}$ es un elemento de A.

A pesar de ser sucesiones, es común listar los elementos concatenados en vez de separarlos por comas. A los elementos del alfabeto también se les denomina los símbolos del alfabeto.

Si ${displaystyle omega =a_{1}a_{2}cdots a_{n}}$ es una palabra sobre un alfabeto A, al valor de n se denomina la longitud de la palabra y se denota ${displaystyle |omega |}$. Una palabra de longitud n se denomina una n-palabra (sobre el alfabeto A).

Para cada conjunto alfabeto existe una palabra de longitud cero, denominada palabra vacía, que se denota "" o ${displaystyle varnothing }$ entre otras variantes.

Cuando el alfabeto consta de dos elementos, las palabras reciben el nombre de palabras binarias. En este caso, suele escogerse como alfabeto el conjunto A={0, 1}.

Si ${displaystyle omega =a_{1}a_{2}cdots a_{n}}$ es una palabra, su palabra reversa es ${displaystyle { ilde {omega }}=a_{n}a_{n-1}cdots a_{1}}$. Una palabra ${displaystyle omega }$ es un palíndromo si ${displaystyle omega ={ ilde {omega }}}$.

Las palabras son un objeto fundamental en el área de combinatoria enumerativa, pues por el principio de la biyección, es posible reducir una gran variedad de problemas a enumerar conjuntos de palabras que cumplan ciertas restricciones.

El resultado básico es el que determina el número de palabras de longitud fija:

El número de palabras de longitud n sobre un alfabeto con r elementos es rⁿ.

La demostración es una consecuencia del principio del producto pues para determinar una palabra hay que realizar n elecciones sucesivas, cada una de las cuales tiene exactamente r formas de realizarse.

A continuación se da un ejemplo clásico de aplicación de palabras a un problema de enumeración.

Un conjunto con n elementos posee 2ⁿ subconjuntos distintos.

Ahora, cada subconjunto ${displaystyle Ssubseteq X}$ corresponde a una palabra binaria (sobre el alfabeto A={0,1}) mediante la siguiente regla:

Por ejemplo, si el conjunto es ${displaystyle X={a,e,i,o,u}}$, con los elementos listados en ese orden, el subconjunto S={a,o,u} corresponde a la palabra 10011:

De manera similar, cualquier palabra binaria de longitud n corresponde a un subconjunto de X, determinado por las posiciones iguales a 1 en la palabra. Por tanto, la correspondencia entre subconjuntos y palabras es una biyección, de manera que el número de subconjuntos es igual al número de palabras consideradas.

Pero por el teorema básico de conteo de palabras, el número de palabras de longitud n sobre un alfabeto que tiene dos símbolos es precisamente ${displaystyle 2^{n}}$, por lo que el número de subconjuntos que tiene un conjunto con n elementos es también ${displaystyle 2^{n}}$.

Para cada alfabeto fijo A, es posible definir una operación binaria en el conjunto A^* de todas las palabras sobre A mediante la operación de concatenación: ^[2]​

Si ${displaystyle omega _{1}=a_{1}a_{2}cdots a_{n}}$ y ${displaystyle omega _{2}=b_{1}b_{2}cdots b_{m}}$ son dos palabras, la concatenación de ${displaystyle omega _{1}}$ y ${displaystyle omega _{2}}$ es la palabra

${displaystyle omega _{1}omega _{2}=a_{1}a_{2}cdots a_{n}b_{1}b_{2}cdots b_{m}}$

Se puede verificar que la longitud de una concatenación es igual a la suma de las longitudes: ${displaystyle |omega _{1}omega _{2}|=|omega _{1}|+|omega _{2}|}$.

La operación de concatenación es asociativa y tiene a la palabra vacía como elemento neutro, por lo que el conjunto A^* adquiere estructura de monoide, mientras que el conjunto de palabras no vacías adquiere estructura de semigrupo.,^[2]​ denominados respectivamente monoide libre y semigrupo libre (sobre el alfabeto A).

Una palabra ${displaystyle lambda }$ es un factor de otra palabra ${displaystyle omega }$ si existen palabras ${displaystyle alpha ,eta }$ (posiblemente vacías) tal que ${displaystyle omega =alpha lambda eta }$. Si ${displaystyle alpha }$ es una palabra vacía, se dice que ${displaystyle lambda }$ es un prefijo de ${displaystyle omega }$ mientras que si ${displaystyle eta }$ es vacía, hablamos de un sufijo.

Es posible representar el monoide libre con una estructura de árbol con la palabra vacía como nodo raíz y en donde los nodos descendientes de ${displaystyle omega }$ son la concatenación de ésta con cualquier elemento del alfabeto.

El conjunto de todas las palabras sobre un alfabeto posee también estructura de conjunto parcialmente ordenado, con el orden denominado orden prefijo dado por la relación {{ecuación|1=${displaystyle omega leq au }$ si ${displaystyle omega }$ es un prefijo de ${displaystyle au }$. Este es precisamente el orden cuyo diagrama de Hasse es la representación del monoide descrita en la sección anterior (con la salvead que se dibujaría de abajo hacia arriba, con la palabra vacía en la parte inferior).

En ciencias de la computación es común identificar los conceptos de palabra con el de cadena de caracteres^{[cita requerida]}, el cual es una sucesión de caracteres o unidades de información, y que constituye uno de los tipos de datos más fundamentales.

Usualmente en computación, los elementos de las cadenas pertenecen suelen ser bytes formando un arreglo que representa, mediante una codificación de caracteres, entidades de información. Por el contrario, en la estructura matemática, el alfabeto subyacente puede ser un conjunto cualquiera (incluso infinito) cuyos elementos no tienen restricción de representación o codificación (los elementos del alfabeto pueden, en teoría, ser incluso otros conjuntos).

Se desea determinar el número de palabras binarias de longitud n. Es decir, series de longitud n formadas por cifras 0 o 1. Por ejemplo, las palabras binarias de longitud 4 son:

Se debe hacer la observación que estrictamente hablando, una palabra binaria no es lo mismo que un número binario. Una palabra binaria es únicamente una lista formal de símbolos, y por tanto las palabras 0010, 010, 10 son diferentes aunque puedan interpretarse todas ellas como el número binario 10.

Para poder elegir una palabra, es necesario hacer n elecciones, una para cada posición de la palabra. Por ejemplo: la primera posición puede ser 0 o 1 (dos opciones), la segunda posición es independiente de la primera y por tanto puede ser 0 o 1 (dos opciones), y así sucesivamente.

Cada serie de n elecciones corresponde a una palabra y cada palabra corresponde a n elecciones, por lo que el número de palabras binarias es igual al número de formas de realizar n elecciones cada una de las cuales tiene 2 posibilidades. El principio del producto establece entonces que el resultado ha de ser ${displaystyle 2 imes 2 imes 2 imes cdots imes 2=2^{n}}$.

Un argumento similar permite concluir que si se desea enumerar palabras de longitud n, en donde cada posición puede ser cualquiera de r posibles símbolos, el número de formas de hacerlo será ${displaystyle r^{n}}$.

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