Paralelas
En la geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual a 1 (rectas, planos, hiperplanos entre otros). En el plano cartesiano dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes, por ejemplo la función constante. En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G o G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = ), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si contienen un mismo vector director.
Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.
Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.
De manera análoga, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ninguna recta.
Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si estos nunca se unen o cruzan.
El axioma que distingue a la geometría euclidiana de otras geometrías es el siguiente:
Dado el conjunto P de rectas en el plano, podemos definir la relación binaria: que representamos del siguiente modo:
Siendo a, b, c rectas en el plano P, se cumple:
Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.
Luego la relación de paralelismo entre rectas del plano es una relación de equivalencia.
Estas mismas propiedades se pueden comprobar en el conjunto de planos paralelos en el espacio.
Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.