Pentágono

En geometría, se denomina pentágono (del griego πεντάγωνον, de πέντε pénte "cinco" y γωνία gōnía "ángulo") a un polígono de cinco lados y cinco vértices.

Un pentágono regular es aquel que tiene todos sus lados iguales y sus ángulos internos congruentes.

La apotema, ${displaystyle a_{p}}$, de un pentágono regular de lado ${displaystyle L}$ es^[1]​

El área de un pentágono regular de lado ${displaystyle L}$ es

O, en función el radio de la circunferencia circunscrita, ${displaystyle r}$,

O bien,

Y en función de la apotema, ${displaystyle a_{p}}$^[1]​

El perímetro de un pentágono regular lado ${displaystyle L}$ es

O bien, en función de la apotema (${displaystyle a_{p}}$), ^[1]​

La suma de los ángulos internos de un pentágono es de 540°.

La fórmula general para calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono regular (en el caso del pentágono n = 5) es:

El ángulo comprendido entre dos lados de un pentágono regular se puede calcular mediante la siguiente fórmula (en el pentágono, n = 5):

Un pentágono regular es construible usando un compás y una regla, ya sea inscribiendo uno en un círculo dado o construyendo uno en un lado dado. Euclides describió este proceso en sus Elementos, alrededor del año 300 a. C.^[3]​^[4]​

Se puede construir con regla y compás un pentágono regular, inscrito en una circunferencia (véase la figura), de la siguiente manera:

Uniendo los vértices del pentágono, se obtiene un pentagrama (estrella de 5 puntas) inscrito en él. En el centro quedará otro pentágono regular, con lo que el proceso de inscribir pentagramas en los sucesivos pentágonos que se vayan generando, matemáticamente, no tiene fin.

Al inscribir en un pentágono regular un pentagrama, se puede observar la razón áurea entre las longitudes de los segmentos resultantes.

Veamos que la razón entre un segmento que una dos de sus vértices no consecutivos y uno de los lados del pentágono es la razón aúrea o número áureo, por ejemplo que

Por simetría, los segmentos CE y CA son iguales. Observamos que los triángulos ANF y CMF son semejantes. De la semejanza de sus lados tenemos que

Observemos que MC es la mitad de CE y que AN es la mitad de AB. Por otra parte, como el triángulo FCD es isósceles, tenemos que FC = CD. Así podemos escribir AF = AC - FC = CE - CD. Por tanto

Sustituyendo CE/CD por ${displaystyle varphi }$ tenemos

en otras palabras ${displaystyle varphi -1={frac {1}{varphi }}}$. Esta ecuación describe la razón dorada. ${displaystyle varphi }$ es el único número positivo que cuando le restamos la unidad, obtenemos su inverso.

Consideremos a un pentágono (regular) y la circunferencia circunscrita a dicho pentágono. Tracemos la perpendicular por el centro de la circunferencia al lado DA del pentágono y sea M la intersección de esta perpendicular con la circunferencia el ángulo AOB mide 360°/5=72° y el ángulo AOM es su mitad, es decir 36°. El ángulo MOB, suma de estos dos vale 108° y como el triángulo AOB es isósceles tenemos que

Así, sea P la intersección de las rectas OA y MB. El triángulo PMO es isósceles, y la razón entre el radio OM y el segmento PM es la razón dorada. Finalmente, el triángulo OBP también es isósceles, con lo que PB = OB ( =OM). Tenemos :${displaystyle {frac {PM}{OM}}={frac {1}{varphi }}={frac {MB-PB}{OM}}=varphi -1}$

Lo anterior se puede interpretar como una demostración geométrica de la ecuación (1).