Podaria
Se llama podaria de la curva C con respecto al punto P al lugar geométrico de las proyecciones ortogonales de P sobre las tangentes de la curva C.
Tómese P como el origen de coordenadas. Para una curva dada por la ecuación F (x, y) = 0, si la ecuación de la tangente en R = (x0, y0) se escribe en la forma
entonces el vector (cos α, sen α) es paralelo al segmento PX, y la longitud de PX, que es la distancia desde la línea tangente al origen, es p. Entonces X se representa en coordenadas polares (p, α) reemplazando (p, α) por (r, θ), lo que produce la ecuación polar de la curva podaria.
Por ejemplo, para la elipse
la línea tangente en R = (x0, y0) es
y escribir esto en la forma dada arriba requiere que
La ecuación para la elipse se puede usar para eliminar x0 e y0 dando
y la conversión a (r, θ) da
como la ecuación polar de la podaria. Esto se convierte fácilmente en una ecuación cartesiana como
Sea P el origen y esté la curva C dada en coordenadas polares mediante r = f(θ). Sea R = (r, θ) un punto de la curva y sea X = (p, α) el punto correspondiente en la curva podaria. Si ψ denota el ángulo entre la línea tangente y el vector del radio, también conocido como ángulo polar tangencial. Está dado por
Entonces
Estas ecuaciones se pueden usar para producir una ecuación en p y α que, cuando se traduce a r y θ da una ecuación polar para la curva podaria.
Por ejemplo, siendo la coordenada x de la circunferencia dada por r = a cos θ, entonces
así que
y también
Entonces la ecuación polar de la podaria es
Los ecuación podal de una curva y su podaria están estrechamente relacionadas. Si se toma P como punto podal y el origen de coordenadas, entonces se puede demostrar que el ángulo ψ entre la curva y el vector del radio en un punto R es igual al ángulo correspondiente para la curva de la podaria en el punto X. Si p es la longitud de la perpendicular trazada desde P a la tangente de la curva (es decir, PX) y q es la longitud de la perpendicular correspondiente extraída de P a la tangente a la podaria, entoncws, por triángulos similares
Se deduce inmediatamente que si la ecuación podal de la curva es f (p, r) = 0, entonces la ecuación podal para la curva podarua es
A partir de esta igualdad, todas las podarias positivas y negativas se pueden calcular fácilmente si se conoce la ecuación podal de la curva.
Sea el vector de R a P y sean
las componentes tangencial y normal de con respecto a la curva. Entonces es el vector de R a X desde el que se puede calcular la posición de X.
Específicamente, si c es una parametrización de la curva, entonces
parametriza la curva podaria (sin tener en cuenta los puntos donde c' es cero o indefinido).
Para una curva definida paramétricamente, su curva podaria con el punto podal (0; 0) se define como
La curva contrapodaria viene dada por:
Con el mismo punto podal, la curva contrapodaria es la curva podaria de la evoluta de la curva dada.
Considérese un ángulo recto moviéndose rígidamente para que uno de sus lados pase por el punto "P" y el otro sea tangente a la curva. Entonces, el vértice de este ángulo es X y traza la curva podaria. A medida que el ángulo se mueve, su dirección de movimiento en P'- es paralela a PX' y su dirección de movimiento en R es paralela a la tangente T = RX. Por lo tanto, el centro instantáneo de rotación es la intersección de la línea perpendicular a PX en P y perpendicular a RX en R, y este punto es Y. De aquí se deduce que la tangente a la podaria en X es perpendicular a XY.
Dibújese una circunferencia con diámetro PR, luego circunscríbase el rectángulo PXRY y XY es otro diámetro. La circunferencia y la podaria son ambas perpendiculares a XY por lo que son tangentes en X. Por lo tanto, la podaria es la envolvente de las circunferencias con diámetros PR, donde R se encuentra en la curva.
La línea recta YR es normal a la curva y la envolvente de tales normales es su evoluta. Por lo tanto, YR es tangente a la evoluta y el punto Y es el pie de la perpendicular desde P a esta tangente. En otras palabras, Y está en la podaria de la evoluta. Se deduce que la contrapodaria de una curva es la podaria de su evoluta.
Sea C la curva obtenida al reducir C por un factor de 2 hacia P. Entonces, el punto R' correspondiente a R es el centro del rectángulo PXRY, y la tangente a C' en R' divide este rectángulo en paralelo a PY y a XR. Un rayo trazado desde P y reflejado por C' en R' pasará luego a través de Y. El rayo reflejado, cuando se extiende, es la línea XY, perpendicular a la podaria de C. La envolvente de las rectas perpendiculares a la podaria es entonces la envolvente de los rayos reflejados o la catacáustica de C' . Esto demuestra que la catacáustica de una curva es la evoluta de su ortotómica.
Como se señaló anteriormente, el círculo con diámetro PR es tangente a la podaria. El centro de este círculo es R' , que sigue la curva C' . Se deduce que la envolvente de círculos a través de un punto fijo y cuyos centros se encuentran en una curva dada es la ortotómica de la curva.
Sea D una curva congruente a C. D rueda sin deslizar, como en la definición de una ruleta, en C para que D' siempre sea el reflejo de C' con respecto a la línea a la que son mutuamente tangentes. Luego, cuando las curvas se tocan en R' , el punto correspondiente a P en el plano móvil es X, por lo que la ruleta es la curva podaria. De forma equivalente, la ortotómica de una curva es la ruleta de la curva en su imagen especular.
Cuando C es una circunferencia, la discusión anterior muestra que las siguientes definiciones de un caracol de Pascal son equivalentes:
También se ha demostrado que la catacáustica de una circunferencia es la evoluta de una curva conocida como caracol de Pascal.
Las podarias de algunas curvas específicas son:
Notas
Fuentes