Polinomios de Appell generalizados

En matemáticas, una serie polinómica ${displaystyle {p_{n}(z)}}$ tiene una representación de Appell generalizada si la función generadora de los polinomios toma la forma:

donde la función de generación o núcleo ${displaystyle K(z,w)}$ se compone de la serie

y

y

Dado lo anterior, no es difícil demostrar que ${displaystyle p_{n}(z)}$ es un polinomio de grado ${displaystyle n}$.

Los polinomios de Boas-Buck es una clase de polinomios un poco más general.

Los polinomios de Appell generalizados tienen la representación explícita

La constante es

donde esta suma se extiende sobre todas las particiones de ${displaystyle n}$ en partes de ${displaystyle k+1}$; es decir, la suma se extiende sobre todo ${displaystyle {j}}$ de tal manera que

Para los polinomios de Appell, esto se convierte en la fórmula

De manera equivalente, una condición necesaria y suficiente para que el núcleo ${displaystyle K(z,w)}$ pueda escribirse como ${displaystyle A(w)Psi (zg(w))}$ con ${displaystyle g_{1}=1}$ es que

donde ${displaystyle b(w)}$ y ${displaystyle c(w)}$ tienen la serie de potencias

y

Sustituyendo

inmediatamente da la relación de recurrencia.

Para el caso especial de los polinomios de Brenke, se tiene que ${displaystyle g(w)=w}$ y, por lo tanto, todos los ${displaystyle b_{n}=0}$, simplificando significativamente la relación de recursión.

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