Problema del asignamiento

El problema de asignación consiste en encontrar la forma de asignar ciertos recursos disponibles (máquinas o personas) para la realización de determinadas tareas al menor coste, suponiendo que cada recurso se destina a una sola tarea, y que cada tarea es ejecutada por uno solo de los recursos. Es uno de los problemas fundamentales de optimización combinatoria de la rama de optimización o investigación operativa en matemática. El modelo se puede aplicar a la asignación de empleados a tareas, de fábricas a productos, de vendedores a territorios, de postores a contratos, etc. Con una sencilla manipulación, el método también se puede aplicar al caso en el que se pretende maximizar cierta cantidad.

Formalmente, el problema de la asignación consiste en encontrar un emparejamiento de peso óptimo en un grafo bipartito ponderado. El problema de asignación es un caso particular del problema de transporte, en el que la oferta en cada origen y la demanda en cada destino son ambas de valor 1.

El problema de asignación tuvo su origen en la revolución industrial, ya que el surgimiento de las máquinas hizo que fuera necesario asignar una tarea a un trabajador.

Thomas Jefferson en 1792 lo sugirió para asignar un representante a cada estado, pero formalmente aparece este problema en 1941, cuando F.L. Hitchcook publica una solución analítica del problema. Pero no es hasta 1955 cuando Harold W. Kuhn plantea el método húngaro, que fue posteriormente revisado por James Munkres en 1957. Dicho método está basado fundamentalmente en los primeros trabajos de otros dos matemáticos húngaros: Dénes Köning y Jenö Egervary.

Hoy en día en pleno apogeo de la globalización surge cada vez con mayor frecuencia el uso de este problema en la rama de la investigación de operaciones. Podemos decir que es la aplicación del método científico para asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestión y organización de sistemas complejos. Su objetivo es ayudar a la toma de decisiones.

En su forma más general, el problema es como sigue:

Este tipo de problemas son lineales, con una estructura de transporte, solo que la oferta en cada origen es de valor uno y la demanda en cada destino es también de valor uno. Sería muy ineficiente resolver este tipo de problemas por medio del método simplex o por medio del algoritmo de transporte. Debido a la estructura propia de los problemas de asignación, existen métodos de solución llamados "algoritmos de asignación" que son más eficientes que el simplex o que el método de transporte.

Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte, pero con dos diferencias: asocian igual número de orígenes con igual número de demandas y las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino.

La restricción importante para cada agente es que será asignado a una sola tarea.

El problema de asignación presenta las siguientes características:

Oferta: Cantidad que representa la disponibilidad del artículo en la fuente/fábrica de donde proviene. ⁴

Demanda: Cantidad de artículos que necesita recibir el destino para cumplir sus necesidades. ⁴

El problema de asignación es un caso particular del problema de transporte y constituyen la clase más sencilla de los problemas lineales, en el cual los trabajadores representan las fuentes y los puestos representan los destinos.

Implica asignar números a las celdas para satisfacer las restricciones de oferta y demanda. Para realizar esto se puede emplear alguno de estos métodos: El método de la esquina noroccidental, el método de menor costo y el método de aproximación de Vogel.

Tabla de transporte: Otra forma de plantear el problema de transporte ( recordemos que el problema de asignación es un caso especial del de transporte) es mediante una tabla llamada tabla de transporte, la cual tiene forma de matriz donde los renglones representan las fuentes y las columnas los destinos o trabajos.

Matriz de costos: Es una matriz cuadrada de n*n, donde cada elemento representa el costo de asignar el enésimo trabajador al enésimo trabajo; renglones = trabajadores. Es la tabla en donde, se identifica, se evalúa y se cuantifica los beneficios económicos, costos y riesgos de los productos/servicios, después de definir la necesidad el alcance y el alineamiento estratégico de los productos/servicios, en donde se evalúa el beneficio total de la propiedad (características). Una vez creada la matriz se demuestra el valor económico para la realización del producto o servicio correspondiente. ⁴

Matriz de Costos Reducida Es la matriz que se obtiene después de haber restado el elemento más pequeño a cada renglón (reducción de renglones) y restarle a esa nueva matriz el elemento más pequeño a cada columna (reducción de columnas).

Distribución óptima: Sean un conjunto de fragmentos ${displaystyle F={F_{1},F_{2},dots ,F_{n}}}$ y una red formada por el conjunto de sitios ${displaystyle S={S_{1},S_{2},dots ,S_{m}}}$ en la cual un conjunto de aplicaciones ${displaystyle Q={q_{1},q_{2},dots ,q_{q}}}$ se ejecutan. El problema de la asignación implica encontrar la distribución óptima de F sobre S. (multi)

Método Simplex: Método de solución de los problemas de programación lineal donde se obtiene una solución factible y óptima (en donde se pueden obtener resultados como solución múltiple, solución no acotada, o que el problema no tenga solución).

Solución Óptima: El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso).

Muchos problemas de redes son más que una representación abstracta de procesos o actividades, tales como el camino crítico en las actividades entre las redes de un proyecto. Para definir lo que es una red necesitaremos saber qué es un nodo.

Nodo: Es uno de los elementos de una lista enlazada, de un árbol o de un grafo. Cada nodo será una estructura o registro que dispondrá de varios campos, y al menos uno de esos campos será un puntero referencia a otro nodo, de forma que, conocido un nodo, a partir de esa referencia, será posible en teoría tener acceso a otros nodos de la estructura.

Una red consiste en una serie de nodos enlazados con arcos (o ramas). La notación para describir una red es ${displaystyle (N,A)}$, donde ${displaystyle N}$ es el conjunto de nodos y ${displaystyle A}$ es el conjunto de arcos.

Oferta y demanda desiguales. Cuando la oferta y la demanda son desiguales, se asigna una actividad ficticia con un costo de cero para mantener la condición de método que deben ser igual número de ofertas y demandas

Problemas de Maximización. Considere un problema de asignación en el que la respuesta a cada asignación es una utilidad en vez de un costo. Considere la matriz de utilidades del problema como la característica nueva la cual consiste en que el número que aparece en cada celdilla representa un beneficio en lugar de un costo.

Problemas con asignación inaceptable. Supóngase que se está resolviendo un problema de asignación y que se sabe que ciertas asignaciones son inaceptables. Para alcanzar esta meta, simplemente asigna un costo arbitrariamente grande representado mediante la letra M. M es un número tan grande que si se le resta un número finito cualquiera, queda todavía un valor mayor que los demás.

Problema de selección: Es un caso especial donde la función u objetivo es maximizar pero el problema se trata igual que una minimización al multiplicar por (-1).

Cuando el problema de asignación es de maximización se le llama problema de selección.

Se dice que un problema de asignación se encuentra balanceado, si los recursos totales son iguales a las demandas totales. En caso contrario se dice que no está balanceado el problema.

Además en el modelo, ${displaystyle m=n}$ (obtener una matriz cuadrada), en donde ${displaystyle m}$ número de renglones y ${displaystyle n}$ es número de columnas.

Para lograr que el modelo este balanceado se pueden agregar trabajadores/tareas ficticias con costos de cero.

El algoritmo Húngaro es uno de los muchos algoritmos que han sido diseñados para resolver el problema del asignación lineal con un tiempo acotado por una expresión polinómica del número de agentes.

El problema de asignación es un caso especial del problema del transportador, que es un caso especial del problema del flujo de coste mínimo. El problema de asignación también puede ser resuelto por medio del algoritmo simplex (creado en 1947 por el matemático George Dantzig). El método simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. Es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. Cada especialización tiene algoritmos más eficientes tomando ventaja de su estructura espacial.

Si ${displaystyle x_{ij}=1}$ entonces se asigna el trabajador ${displaystyle i}$ a la tarea ${displaystyle j}$ y si ${displaystyle x_{ij}=0}$ entonces no se asigna el trabajador ${displaystyle i}$ a la tarea ${displaystyle j}$. C_ij: Costo de asignar al trabajador i la tarea j.

Parámetro M: M es un número muy grande en los problemas de asignación. Se utiliza para representar que al trabajador i no se le puede asignar la tarea j.

Problema Binario: Son los problemas en los cuales la variable ${displaystyle x_{ij}}$ solo puede tomar valores de ${displaystyle 0}$ y ${displaystyle 1}$; el problema de asignación es un problema binario.

Es un modelo de programación lineal donde en la solución las variables solo pueden tomar los valores de cero o uno.

${displaystyle x_{ij}={egin{cases}1&{mbox{Si el asignado }}i{mbox{ realiza la asignación }}j\0&{mbox{En caso contrario }}end{cases}}}$

Si a todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz de rendimientos se le suma o se le resta una cantidad constante la asignación óptima no varía.

La definición formal del problema de asignación (o problema asignación lineal) es

Normalmente la función peso es vista como una matriz cuadrada de valores reales C, con lo que el coste de la función queda así:

El problema es "lineal" porque la función coste a optimizar así como todas las restricciones contienen solo términos lineales.

Pasos para el método húngaro:

Paso 1: De la matriz de costos m*m, encontrar primero el mínimo elemento de cada fila, y restarlo a cada costo de la fila. Repetimos la operación por columnas, buscando el costo mínimo en cada columna, y construyendo una nueva matriz (denominada matriz de costos reducidos) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna.

Paso 2: Repetiremos este paso hasta encontrar una solución:

Paso 3: Usando los ceros que hemos obtenido construimos la solución sabiendo que solo es posible asignar i a j, si el elemento x_ij de la matriz de costos reducidos modificada es 0. Se llega por descarte a una (o varias) soluciones óptimas.

Cuando hay que pasar de maximizar a minimizar en lugar de operar con el menor de toda la matriz podemos ir tomando el mayor de cada fila o columna e ir restándole todos los elementos de esa fila o columna con lo cual conseguiremos obtener por lo menos un cero como mínimo en cada fila o columna. Si en alguna columna no hubiera ceros le quitamos el mayor a la columna.

Este método es utilizado en aquellos casos donde no se ha podido hacer una asignación óptima después de haber realiza el método húngaro.

El método consta de los siguientes pasos: Paso 1: Señalar todas las filas que no tienen una asignación. (Cuando se dice señalar puede ser una pequeña X a la izquierda de la fila o arriba de la columna)

Paso 2: Señalar todas las columnas que tengan un cero en la columna señalada.

Paso 3: Señalar todas las filas que tienen una asignación en las columnas indicadas.

Paso 4: Repetir estos pasos hasta que no pueda señalarse más columnas o filas. (No hay más filas que no tengan asignación) Dibujar una línea por cada fila NO señalada y por cada columna SI señalada.

Paso 5: Encontrar el mínimo valor de los elementos no cubiertos y restarlo a todos los elementos no cubiertos, y sumar este valor a cada elemento que se encuentre en la intersección de una línea horizontal con una línea vertical.

Paso 6: Realizar la asignación como en el método húngaro. (arqui)

Una empresa de logística cuenta con 4 máquinas para realizar 3 tareas, cada máquina realiza la tarea según el tiempo en que esta pueda ejecutarla. En la siguiente tabla se muestran los tiempos en horas para dichas tareas.

Se plantea la red de la siguiente forma:

Para resolver el problema usando el método Húngaro será necesario equilibrar la tabla de costos, si se construye una tabla sobre la base de la red tendremos 4 filas ≠ 3 columnas, por tanto será necesario agregar una nueva columna con costos 0. Esto significa que se añadirá una tarea falsa.

Ahora se tienen 4 filas = 4 columnas, por tanto el modelo está balanceado y listo para aplicar el método Húngaro para su solución.

Machineco tiene cuatro máquinas y cuatro tareas por completar. Cada máquina se debe asignar para completar una tarea. El tiempo requerido para preparar cada máquina para completar cada tarea se muestra en la siguiente tabla. Machineco desea reducir el tiempo de preparación total necesario para completar las cuatro tareas.

Planteamiento del modelo de programación lineal

Machineco debe determinar qué máquina debe asignarse a cada tarea. X_ij=1 si la máquina i se asigna para satisfacer las demandas de la tarea j X_ij=0 si la máquina i no se asigna para satisfacer las demandas de la tarea j

Entonces el modelo de P.L. de Machineco es el siguiente:

${displaystyle {egin{aligned}&min z=14x_{11}+5x_{12}+8x_{13}+7x_{14}+2x_{21}+12x_{22}+6x_{23}+5x_{24}+7x_{31}+8x_{32}\&qquad qquad qquad +3x_{33}+9x_{34}+2x_{41}+4x_{42}+6x_{43}+10x_{44}\&s.a.\&qquad qquad left.{egin{array}{l}x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{14}=1\x_{21}+x_{22}+x_{23}+x_{24}=1\x_{31}+x_{32}+x_{33}+x_{34}=1\x_{41}+x_{42}+x_{43}+x_{44}=1end{array}} ight}{ ext{Restricciones de máquina}}\\&qquad qquad left.{egin{array}{l}x_{11}+x_{21}+x_{31}+x_{41}=1\x_{12}+x_{22}+x_{32}+x_{42}=1\x_{13}+x_{23}+x_{33}+x_{43}=1\x_{14}+x_{24}+x_{34}+x_{44}=1end{array}} ight}{ ext{Restricciones de trabajo}}\&qquad qquad x_{ij}=1quad oquad x_{ij}=0quad i,j=1,2,3,4end{aligned}}}$

Las restricciones de máquina aseguran que cada máquina se asignó a una tarea, y las restricciones de trabajo aseguran que se completó cada tarea. Si X_ij = 1 entonces la función objetivo tomará el tiempo requerido para preparar la máquina i para la tarea j, si X_ij =0 entonces la función objetivo no tomara el tiempo requerido.

Se puede notar que Machineco enfrenta un problema de transporte equilibrado en el que cada punto de suministro tiene un suministro de 1 y cada punto de demanda tiene una demanda de 1. En general el problema de asignación es un problema de transporte equilibrado en el que suministros y demandas son iguales a 1, Así, un problema de asignación se caracteriza porque se conoce el costo de asignar cada punto de suministro a cada punto de demanda.

Paso 1: Reste el número más pequeño de cada renglón a cada número del renglón. Esto se llama reducción de renglón.

Paso 2: Reste el número más pequeño de la nueva matriz a cada número de la columna. Esto se llama reducción de columna.

Al momento de realizar los dos pasos anteriores la matriz nueva recibe el nombre de matriz reducida de costos.

Paso 3: Pruebe si se puede hacer una asignación óptima. Se hace mediante la determinación del número mínimo de líneas necesarias para cubrir todos los ceros.

Como el número de líneas no es igual al número de renglones no es posible hacer una asignación, en este caso se continúa con el método.

Paso 4: Reste el número no cubierto más pequeño de todos los números no cubiertos de la matriz. Sume el número no cubierto más pequeño a los números que se encuentren en intersección de líneas. Los números cruzados pero que no se encuentran en intersección de líneas permanece igual.

Paso 5: Repetir los pasos 3 y 4 hasta que el número de líneas sea igual al número de renglones de la matriz.

Como el número de líneas es igual al número de renglones se tiene una solución óptima. Se puede pasar al último paso.

Paso 6: Se hacen las asignaciones una a una en las posiciones que tienen elemento cero. Comience con los renglones y columnas que tienen solo un cero. Cada renglón y columna necesita recibir exactamente una asignación. Después continúe con los renglones y columnas que no han sido asignados. Siga hasta que todos los renglones y columnas estén asignados.

'z = 2 + 5 + 3 + 5 = 15'

Doc Counsilman reúne a un equipo de relevos para el relevo de 400 metros. Cada nadador debe nadar 100 metros de brazada de pecho, dorso, mariposa o estilo libre. Doc cree que cada nadador obtendrá los tiempos en segundos dados en la tabla. ¿Qué nadador debe nadar que estilo?

Min z= 54x₁₁ + 54x₁₂ + 51x₁₃ + 53x₁₄ + 51x₂₁ + 57x₂₂ + 52x₂₃ + 52x₂₄ + 50x₃₁ + 53x₃₂ + 54x₃₃ + 56x₃₄ + 56x₄₁ + 54x₄₂ + 55x₄₃ + 53x₄₄

S.A

mplo || Ejemplo || Ejemplo

1. Se escribe la matriz de costos.

2. Se escoge el número más pequeño de cada renglón y se le resta a cada número del renglón y los resultados se pone en una nueva matriz. Queda de la siguiente manera:

${displaystyle {egin{vmatrix}54&54&color {Red}51&53\color {Red}51&57&52&52\color {Red}50&53&54&56\56&54&55&color {Red}53end{vmatrix}}Rightarrow {egin{vmatrix}3&3&0&2\0&6&1&1\0&3&4&6\3&1&2&0end{vmatrix}}}$

3. De la nueva matriz se escoge el número más pequeño de cada columna y se le resta a cada número de la columna. Queda de la siguiente manera:

${displaystyle {egin{vmatrix}3&3&color {red}0&2\color {red}0&6&1&1\0&3&4&6\3&color {red}1&2&color {red}0end{vmatrix}}Rightarrow {egin{vmatrix}3&2&0&2\0&5&1&1\0&2&4&6\3&0&2&0end{vmatrix}}}$

4. Procedemos a encontrar el número mínimo de rectas que cubren todos los ceros de la matriz.

5.Si el número de rectas es igual al número de renglones es posible hacer una asignación, como en este caso son diferentes se hace el siguiente paso.

6. Se escoge el número más pequeño no cubierto y se le resta a los demás números no cubiertos. En los números de intersección de rectas se suma este número.

Procedemos a encontrar el número mínimo de rectas que cubren todos los ceros de la matriz.

Como el número de rectas es igual al número de renglones procedemos a asignar. Se escoge el cero donde solo esté una vez en el renglón o la columna.

Así queda la asignación.

Con esto se hizo una asignación la cual quiere decir que:

En total se harán como mínimo 207 minutos entre los 4 nadadores.

Una empresa ha preseleccionado 5 candidatos para ocupar 4 puestos de trabajo en dicha empresa. Los puestos de trabajo consisten en manejar 4 máquinas diferentes (un trabajador para cada máquina). La empresa puso a prueba a los 5 trabajadores en las 4 máquinas, realizando el mismo trabajo todos ellos en cada una de las máquinas, obteniendo los siguientes tiempos:

Comenzamos por plantear la red

Posteriormente se determina qué candidatos debe seleccionar la empresa y a qué máquinas debe asignarlos. Se determinan las variables de decisión, en este caso: X_ij: acción de que el trabajador i es asignado a la máquina j (0 indica que el trabajador no ha sido asignado y 1 que sí ha sido asignado)

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisión. Dichas restricciones son que cada trabajador debe ser asignado a una sola máquina y no debe quedar ninguna máquina sin un trabajador asignado a ella: Cada trabajador debe estar asignado a una sola máquina o a ninguna si no se selecciona:

En cada máquina debe haber un trabajador:

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores... En este caso las restricciones son que las asignaciones de trabajadores a máquinas no puede ser negativa y debe ser además una variable booleana (0 no se asigna, 1 se asigna):

Se determina la función objetivo:

Min Z = 10X₁₁ + 8X₂₁ + 8X₃₁ + 9X₄₁ + 8X₅₁ + 6X₁₂ + 7X₂₂ + 6X₃₂ + 7X₄₂ + 7X₅₂ + 6X₁₃ + 6X₂₃ + 5X₃₃ + 7X₄₃ + 6X₅₃ + 5X₁₄ + 6X₂₄ + 6X₃₄ + 6X₄₄ + 5X₅₄

${displaystyle {egin{pmatrix}10&6&6&5&0\8&7&6&6&0\8&6&5&6&0\9&7&7&6&0\8&7&6&5&0end{pmatrix}}Rightarrow {egin{pmatrix}2&0&1&0&0\0&1&1&1&0\0&0&0&1&0\1&1&2&1&0\0&1&1&0&0end{pmatrix}}}$

Por lo tanto: El candidato 1 trabajara con la máquina 2 El candidato 2 trabajara con la máquina 1 El candidato 3 trabajara con la máquina 3 El candidato 5 trabajará con la máquina 4 El candidato 4 no trabajaría Así tendremos un costo de: 24 ( Z*=6+8+5+0+5)

Un profesor han determinado 4 capítulos de un libro X y está pensando en pedir ayuda para terminarlo. Él ha elegido a 4 secretarias que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud del trabajo.

Los datos están en la tabla.

El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y está pensando en pedir ayuda para terminarlo. Él ha elegido a 4 secretarias que podrían mecanografiarle cada uno de sus capítulos. El costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que realiza el trabajo. Además los capítulos difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. ¿Qué puede hacer el profesor si conoce la siguiente tabla?:

X_ij =Secretaria i asignada al capítulo j.

Min Z= 96X₁₁ + 99X₁₂ + 105X₁₃ +108X₁₄ + 116X₂₁ + 109X₂₂ + 107X₂₃ + 96X₂₄ + 120X₃₁ + 102X₃₂ + 113X₃₃ + 111X₃₄ + 114X₄₁ + 105X₄₂ + 118X₄₃ + 115X₄₄.
s.a
X₁₁ + X₁₂ + X₁₃ + X₁₄ = 1
X₂₁ + X₂₂ + X₂₃ + X₂₄ = 1
X₃₁ + X₃₂ + X₃₃ + X₃₄ = 1
X₄₁ + X₄₂ + X₄₃ + X₄₄ = 1

X₁₁ + X₂₁ + X₃₁ + X₄₁ = 1
X₁₂ + X₂₂ + X₃₂ + X₄₂ = 1
X₁₃ + X₂₃ + X₃₃ + X₄₃ = 1
X₁₄ + X₂₄ + X₃₄ + X₄₄ = 1
X_ij ≥0

Después de aplicar el Método Húngaro se obtiene la solución:

Por lo que al tomar los valores en donde existan ceros, se elige alguno y se eliminan los ceros consecuentes por fila y por columna, por lo tanto la solución es:

Juana escribirá el Cap.14 María escribirá Cap. 17 Jackeline escribirá Cap.16 Edith escribirá Cap.15 Costo de Asignación es: 96 + 96 + 113 + 105 = 410

En la empresa Sinco se tienen tres vacantes, que ya han sido solicitadas por tres profesionistas: Jorge, Karen y Armando. El gerente de recursos humanos, Martín, pidió propuestas de salarios a cada uno de los profesionistas para las actividades de capturista de datos, programador y analista de base de datos, que todos los solicitantes podrían realizar. Se sobreentiende que después los tres aceptarán la decisión de Martín sobre quién hace que actividad. La tabla siguiente resume las propuestas recibidas por lo que cobra un profesionista por realizar las diferentes actividades por hora:

Con base en esta información ¿Cómo debe asignar las actividades el gerente de recursos humanos?

xij = La asignación del profesionista i a la actividad j

Min z = 160 X11+ 110X12 + 100X13 + 100X21 + 160X22 + 110X23 + 110X31 + 130X32 + 90X33

s.a.

Delimitamos a los profesionistas
X11 + X12 + X13 = 1
X21 + X22 + X23 = 1
X31 + X32 + X33 = 1

Delimitamos a las tareas
X11 + X21 + X31 = 1
X12 + X22 + X32 = 1
X13 + X23 + X33 = 1
Xij ≥ 0, xij ε {0,1}

Reste el número más pequeño de cada renglón, esto se llama reducción de renglón. Introduzca los resultados en una nueva matriz

Reste el número más pequeño de la nueva matriz a cada número de la columna, esto se llama reducción de columna. Introduzca los nuevos datos en otra matriz.

Pruebe si puede hacer una asignación óptima. Hágalo mediante la determinación del número mínimo de líneas necesarias para cubrir todos los ceros (horizontales y verticales). Si el número de líneas es igual al número de renglones entonces es posible hacer una asignación.

En este caso tuvimos suerte, el número de líneas es igual al número de renglones de la matriz por lo tanto podemos hacer una asignación.

Nos pasamos al paso 6, les dejó también los pasos que hubiéramos tenido que realizar en caso de no fuera igual el número de renglones que de columnas.

Si el número de líneas es menor que el número de renglones, modifique la matriz de la siguiente forma: a) Reste el número no cubierto más pequeño de todos los números no cubiertos de la matriz. b) Sume el número no cubierto más pequeño a los números que se encuentran en intersección de líneas. c) Los números cruzados pero que no se encuentren en intersección de líneas permanecen igual.

Repita los pasos 3 y 4 hasta que el número de líneas sea igual al número de renglones de la matriz.

Haga las asignaciones una a una en las posiciones que tienen elementos cero, comience con los renglones y columnas que tienen un solo cero. Cada renglón y columna necesita recibir exactamente una asignación, después continúe con los renglones y columnas que no han sido asignados. Siga hasta que todos los renglones y columnas hayan sido asignados.

En nuestro ejemplo asignamos las posiciones X21, X12 y X33.

Jorge va a ser el programador, Karen la capturista de datos y Armando el analista de base de datos. El costo total será de 110 + 100 + 90 = $300 por hora.

En la empresa de computo llamada “El Lago Azul” se tienen 6 circuitos lógicos para ser colocados en 5 equipos. Se requiere saber cuál es el costo mínimo en la adaptación de los circuitos a las computadoras. En la siguiente tabla se muestran los costos que se llevan a cabo en la adaptación:

X_ij = Circuito i, Computadora j

Min z = 1000X₁₁ + 1500X₁₂ + 3200X₁₃ + 500X₁₄ + 1900X₁₅ + 700X₂₁ + 920X₂₂ + 2000X₂₃ + 1100X₂₄ + 3000X₂₅ + 840X₃₁ + 799X₃₂ + 1600X₃₃ + 2300X₃₄ + 1500X₃₅ + 1500X₄₁ + 2000X₄₂ + 1800X₄₃ + 3400X₄₄ + 2600X₄₅ + 1300X₅₁ + 3200X₅₂ + 600X₅₃ + 980X₅₄ + 1000X₅₅ + 2000X₆₁ + 2500X₆₂ + 700X₆₃ + 640X₆₄ + 1500X₆₅.

s.a
X₁₁ + X₁₂ + X₁₃ + X₁₄ + X₁₅≤1
X₂₁ + X₂₂ + X₂₃ + X₂₄ + X₂₅≤1
X₃₁ + X₃₂ + X₃₃ + X₃₄ + X₃₅≤1
X₄₁ + X₄₂ + X₄₃ + X₄₄ + X₄₅≤1
X₅₁ + X₅₂ + X₅₃ + X₅₄ + X₅₅≤1
X₆₁ + X₆₂ + X₆₃ + X₆₄ + X₆₅≤1

X₁₁ + X₂₁ + X₃₁ + X₄₁ + X₅₁ + X₆₁ = 1
X₁₂ + X₂₂ + X₃₂ + X₄₂ + X₅₂ + X₆₂ = 1
X₁₃ + X₂₃ + X₃₃ + X₄₃ + X₅₃ + X₆₃ = 1
X₁₄ + X₂₄ + X₃₄ + X₄₄ + X₅₄ + X₆₄ = 1
X₁₅ + X₂₅ + X₃₅ + X₄₅ + X₅₅ + X₆₅ = 1
X₁₆ + X₂₆ + X₃₆ + X₄₆ + X₅₆ + X₆₆ = 1

Para resolver el problema es necesario balancearlo; la tabla resulta de la siguiente forma:

Resta por renglón. Para realizar la resta por renglón elegimos el menor número que se encuentra en cada uno. En este caso todos los números menores por renglón pertenecen a la columna ficticia por lo tanto en este ejemplo no habrá ningún cambio.

Resta por columna. Ahora restamos el número menor que se encuentra en cada columna, que son los marcados de color verde, a cada elemento que se encuentre en la columna correspondiente. El resultado de los pasos anteriores se le llama matriz resultante.

Trazado de líneas. Ahora trazamos la menor cantidad de líneas que cubra la mayor cantidad de ceros, todos los ceros deben de terminar cubiertos. Nosotros los marcamos de color rojo.

6 renglones y 5 líneas. Para que el problema se dé por terminado tendría que ser igual el número de renglones con el número de líneas; en este caso no se cumple. Por lo tanto se realiza una segunda iteración.

Se elige el número menor no marcado en este caso que no esté de color rojo y lo restamos a los demás números no marcados. Mientras tanto en las intersecciones de las líneas anteriormente marcadas le sumamos este número. En este caso es el número 100.

Trazado de líneas Ahora nuevamente trazamos las líneas, y en este caso se cumple la condición.

Elegimos las columnas que tengan un cero y esa será la asignación de cada circuito a computadora. En el caso que tengan 2 ceros asignamos uno que no haya sido asignado anteriormente mientras que tachamos el cero sobrante.

Finalmente aquí se puede apreciar mejor cada asignación. Como podemos ver el circuito 4 no tiene computadora asignada. Si recordamos anteriormente agregamos una columna ficticia para balancear el problema; por lo tanto sobrara un circuito.

z = 500 + 700 + 799 + 1000 + 700 = $ 3699

Lo que buscaba el problema era encontrar el costo mínimo así que ya dada la asignación sumamos los costos que cada celda tenía en la primera tabla.

Suponga que Aero-México tiene el siguiente horario de vuelos diarios

El problema que tiene Aero-México es la calendarización de la tripulación en estos vuelos. Resulta que una tripulación que sale de México un lunes a las 7:30, llega a Río el mismo lunes a las 13:30; sale el martes de Río a las 9 y llega a México a las 15 horas. El tiempo transcurrido desde las 13:30 del lunes hasta las 9 del martes siguiente, es un tiempo muerto. Se trata entonces de reducir los tiempos muertos de las tripulaciones en estos vuelos, sujeto a ciertas condiciones. En este caso, las condiciones son que cada tripulación debe descansar al menos 8 horas, pero no más de 24.

El problema se puede enunciar de la siguiente manera: dónde deben vivir las tripulaciones y qué tripulaciones deben asignarse a qué vuelos, para que los tiempos muertos totales se minimicen y al mismo tiempo se respeten las condiciones de descanso de las tripulaciones.

Suponga que una tripulación que vive en la ciudad de México que trabaja en el vuelo C y regresa en el vuelo 2 de Río de Janeiro. De acuerdo con los tiempos de vuelo, esa tripulación llega a las 17:30 y sale a las 9 de la mañana rumbo a México, tras 15 y media horas de tiempo muerto. En cambio, una tripulación que vive en Río y sale en el vuelo 1 hacia México, y regresa en el vuelo A a Río, tiene un tiempo muerto de 18 y media horas. Así se pueden construir 2 matrices de tiempos muertos, a saber:

Dadas estas dos matrices, se construye una nueva, donde los elementos t_ij serán.

t_ij=mín (t_ij1, t_ij2),

siempre y cuando 8≤t_ij≤24. En caso de que t_ij no cumpla con esta restricción, la asignación i,j es imposible y por lo tanto, t_ij = M, donde M>>0.

En efecto, la nueva matriz es:

Así el Modelo de Programación Lineal quedaría: Minimizar Z= 17.5 Xa₁ + 15Xa₂₁ + 9Xa₃ +... 12Xe₄ + 17.5Xe₅

s.a
Xa₁ + Xa₂ + Xa₃ + Xa₄ + Xa₅ = 1
Xb₁ + Xb₂ + Xb₃ + Xb₄ + Xb₅ = 1
Xc₁ + Xc₂ + Xc₃ + Xc₄ + Xc₅ = 1
Xd₁ + Xd₂ + Xd₃ + Xd₄ + Xd₅ = 1
Xe₁ + Xe₂ + Xe₃ + Xe₄ + Xe₅ = 1

Xa₁ + Xb₁ + Xc₁ + Xd₁ + Xe₁ = 1
Xa₂ + Xb₂ + Xc₂ + Xd₂ + Xe₂ = 1
Xa₃ + Xb₃ + Xc₃ + Xd₃ + Xe₃ = 1
Xa₄ + Xb₄ + Xc₄ + Xd₄ + Xe₄ = 1
Xa₅ + Xb₅ + Xc₅ + Xd₅ + Xe₅ = 1
X_ij = { 0, 1 } X_ij Z

Como A ya está balanceada, se le aplica el método Húngaro para obtener la solución. Paso 1. Ceros en cada columna

Ceros en cada renglón

Paso 2. Vemos si se puede hacer una asignación, determinando el número mínimo de líneas necesario para cubrir los ceros (para poder hacerse el número de líneas tiene que ser igual al número de renglones)

No se puede hacer la asignación, por tanto seguimos con el paso 3 Paso3. Si el número de líneas es menor que el de renglones

a) Restamos el número no cubierto más pequeño a todos los números no cubiertos

b) sumamos el número no cubierto más pequeño a los números que se encuentran en las intersecciones de las líneas

c) Los demás números permanecen igual.

Con esta iteración ya son 5 líneas y por tanto ya podemos continuar

Paso 4. Hacemos asignaciones 1 a 1 de acuerdo a las posiciones de los ceros. Comenzamos por los renglones y columnas que solo tienen un cero. Cada renglón y cada columna debe recibir una sola asignación.

La asignación óptima queda:

A- 3 con tiempo muerto de 9 horas
B- 5 con tiempo muerto de 10.5 horas
C- 1 con tiempo muerto de 12 horas
D- 2 con tiempo muerto de 8 horas
E- 4 con tiempo muerto de 12 horas

Refiriéndonos a las 2 matrices originales se tiene que en términos de donde viven las tripulaciones la asignación óptima es:

El tiempo muerto total mínimo es de 51.5 horas.

Los tres hijos de Joe Klyne, John, Karen y Terri, quieren ganar algún dinero para cubrir sus gastos personales durante un viaje organizado por la escuela al zoológico local. El señor Klyne eligió tres tareas para sus hijos: podar el césped, pintar la cochera y lavar los automóviles de la familia. Para evitar las competencias anticipadas entre hermanos, les pidió que presentaran licitaciones (secretas) para lo que ellos creían era un pago justo para cada una de las tres tareas. Quedaba entendido que los tres hijos aceptarían la decisión de su padre en lo concerniente a quién desempeñaría cada tarea. La siguiente tabla resume las licitaciones recibidas:

Basándose en esta información, ¿Cómo debe asignar las tareas el señor Klyne? Este problema se resolverá con los primeros tres pasos del método Húngaro.

1.ª iteración.

En seguida restamos el renglón mínimo de cada renglón respectivo, para obtener la matriz reducida.

La aplicación del paso 2 nos da los mínimos en la columna. Si restamos estos valores de las columnas respectivas obtenemos las matriz reducida:

Los cuadros con las entradas cero en negritas proporcionan la solución óptima. Eso quiere decir que John pintará la cochera, Karen podará el césped y Terri lavará los automóviles de la familia. El costo total para el sr Klyne es 9+10+8 =27 dólares. Además esa cantidad siempre igualará (p₁ + p₂ + p₃) + (q₁ + q₂ + q₃)=(9+9+8)+(0+1+0)= 27 dólares.

Asignar maximizando el siguiente Problema.

Cómo este es un problema de maximización entonces primero pasaremos a convertirlo en minimización: lo pasamos a minimización con operación columna

Ahora como una minimización primero operación fila:

Ahora operación columna

Como aquí se encuentra la solución entonces se compara con la matriz original, Por lo tanto el resultado será:
A le corresponde e
B se le asigna c
C lo canalizamos con d
D lo asignamos a b
E le corresponde a
⇒ Z=8 + 6 + 5 + 7 + 4 =30

Una agencia de publicidad trata cual de entre 4 ejecutivos de contabilidad debe asignarse a cada uno de los clientes mayores. Use el método conveniente para encontrar la solución óptima. A continuación se presentan los costos estimados de la asignación de cada ejecutivo:

Realizando operación renglón, primero buscamos el menor de la fila correspondiente. Como no se tienen los suficientes ceros pasamos a operación columna: Pero como no se encuentran los suficientes Ceros para cada fila se procede a buscar el menor de toda la matriz que no estén tachados (en nuestro caso con rojo). En este caso el menor es 1. Entonces restaremos este valor a cada uno de los elementos no tachados y sumaremos este mismo valor a los elementos que están en las intersecciones; los demás se copian sin operación alguna.

Como tampoco obtenemos al menos un cero en las filas se vuelve a realizar la operación anterior. Entonces el menor de los elementos de la matriz no tachada será nuevamente 1, entonces queda:

Aquí encontramos al menos un cero en todas las filas, entonces si tenemos más de 1 Cero en una determinada fila se compara quién es el menor y se toma este. Luego se tacha los ceros que podrían existir en las filas y columnas correspondientes al número tomado. Luego comparamos con la matriz original y se toman los números en las que están los ceros no tachados, luego sumamos y encontramos la solución óptima.

(A, 1)=15 (B, 4)=14 (C, 3)=15 (D, 2)=24 entonces 15 + 14 + 15 + 24 = 68, en otras palabras el cliente A estará con el contador 1, el B con el 4, el C con el 3 y el cliente D con el contador 2.

Existen 3 empleados que se pueden asignar al trabajo con 4 máquinas. Un estudio de tiempos y movimientos ha arrojado los siguientes tiempos por empleado para las 4 máquinas. Indicar que empleado debe trabajar en que máquina y cuál de ellas no será asignado a ningún empleado.

Como la matriz no está balanceada, es necesario incluir un empleado ficticio: (esto es fundamental para asegurar que haya una respuesta. Si la matriz no está balanceada, el problema no será factible de resolver)

Xij =¿Se debe asignar el operario i a la máquina j? ¿Sí o no?

Existen dos números cuyas propiedades hacen que puedan representar estas respuestas son el 1 y el 0, debido a que todo número multiplicado por 1 da el mismo número. Entonces el 1 se puede reemplazar por la respuesta Sí y como todo número multiplicado por cero da cero entonces se puede reemplazar por la respuesta No. Así por ejemplo: 10X11 + 7X12 + 9X13 + 8X14

Representa el tiempo sumado que requiere el empleado 1 en operar las máquinas, pero solo una variable de las tres anteriores puede tomar el valor de Sí, o sea de 1 las demás tendrán que tomar el valor de 0, y eso es debido a que el empleado 1 solo puede ser asignado a una máquina, lo que significaría que el tiempo que utilice el empleado1 puede ser ya sea de "10" de "7" o de "9". o de “8”.

Con base en esto podemos formular la función objetivo:

Min Z = 10X11 + 7X12 + 9X13 + 8X14 + 7X21 + 5X22 + 8X23 + 9x24 +9X31 + 8X32 + 10X33 + 7x34

Restricciones:

Como cada empleado solo puede estar asignado a una máquina.

X11 + X12 + X13 + X14 = 1 X21 + X22 + X23 + X24 = 1 X31 + X32 + X33 + X34 = 1 X41 + X42 + X43 + X44 = 1

Y como cada máquina solo puede tener un operario asignado... X11 + X21 + X31 + X41 = 1 X12 + X22 + X32 + X42 = 1 X13 + X23 + X33 + X43 = 1 X14 + X24 + X34 + X44 = 1 Xij = 1 o 0 para toda i,j.

Al resolver utilizando Software, por ejemplo el Solver del Excel, la respuesta que se obtiene es la siguiente:

Esto significa que al empleado 1 queda asignado a la máquina 3, el empleado 2 a la 2, el empleado 3 a la 4 y el empleado Ficticio a la 1 (es decir, es la que sobra).

Doc Concilman reúne a un equipo de relevos para el relevo de 400m. Cada nadador debe nadar 100m de brazada de pecho, dorso, mariposa o estilo libre. Doc cree que cada nadador obtendrá los tiempos en segundos dados en la tabla. ¿Qué nadador debe nadar cada estilo?

Xij = ¿Asignar el nadador i al estilo j? Sí o no?

Min Z= 54X11 + 54 X12 + 51X13 +53X14 +... + 55X43 +53X44

RESULTADOS

INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS.

(1) * Autor: Anónimo. Polilibros del IPN. Investigación de Operaciones. Capítulo 4. Aplicaciones de la Programación Lineal. 4.3.3. Modelo de asignación pura. https://web.archive.org/web/20110412021426/http://148.204.211.134/polilibros/portal/Polilibros/P_Terminados/Investigacion_de_Operaciones_Careaga/Common/IO-modulo4-asignacionpura.htm

(2) * Autor: Dr. Franco Bellini. Investigación de Operaciones. Curso de la Escuela de Administración y Contaduría Universidad Santa María, Tema 4: Modelos de transporte, Caracas-Venezuela, julio de 2004. http://www.investigacion-operaciones.com/modelo_de_transporte.htm

(3) * Autor: Anónimo. Medelo de Asignación https://web.archive.org/web/20110818154354/http://antiguo.itson.mx/dii/elagarda/apagina2001/PM/asignacion.html#define

(4) * Hamdy A. Taha. (2004). Investigación de operaciones. México. Pearson Educación.

(5) * Wayne L. Winston. (2005) Investigación de operaciones y aplicación de algoritmos, 4.ª ed.. México, Ed Thomson.

(6) * Tutorial del Método de asignación http://www.ingenieria-industrial.net/index.php?accion=1&id=73 Ingeniería-industrial.net] Tutorial del Método de Asignación

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