Propiedades de las operaciones binarias

En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones de A x A en A:

son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos más abstractamente, relaciones binarias en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos sistemas matemáticos, en palabras de Birkhoff.

Dado un conjunto A no vacío y definida una aplicación de ${displaystyle A imes A}$ sobre A, donde a cada par ordenado (a,b) se le asigna un valor c de A, que representamos: ${displaystyle (A,odot )}$

Pueden tener las siguientes propiedades:

Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna ${displaystyle odot }$, que se representa: ${displaystyle (A,odot )}$, se dice que ${displaystyle odot }$ tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.

Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna ${displaystyle odot }$, no es conmutativa en A si:

Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto de operar b con a.

La operación ${displaystyle odot }$ en A es anticonmutativa si:

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al opuesto de operar b con a.

Como ejemplo si en 3-E el espacio de vectores de tres componentes, decimos:

se tiene con el producto vectorial ${displaystyle land }$:

y

en general, para cualquier par de vectores a, b:

Para los enteros , se ve que la sustracción

es anticonmutatava, pues si:

Sea A un conjunto no vacío y ${displaystyle odot }$ una operación binaria en A, se dice que ${displaystyle (A,odot )}$ es asociativa si, solo si:

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

También se puede decir que la operación ${displaystyle odot }$ no es asociativa si se cumple:

Existen a, b, c en A que cumplen que operando a con b y el resultado con c es distinto de operar a con el resultado de operar b con c.

Dado un conjunto A no vacío y definidas dos aplicación de A por A sobre A, donde a cada par ordenado (a,b) se le asigna con la operación ${displaystyle odot }$ un valor c de A y con la operación ${displaystyle circledcirc }$ el valor d de A que representamos: ${displaystyle (A,odot ,circledcirc )}$.

Pueden tener las siguientes propiedades:

Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas, que expresaremos ${displaystyle (A,odot ,circledcirc )}$, se dice que la operación ${displaystyle odot }$ es distributiva por la izquierda de ${displaystyle circledcirc }$ si se cumple:

Del mismo modo se dice que la operación ${displaystyle star }$ es distributiva por la derecha de ${displaystyle circ }$ si se cumple:

Una operación ${displaystyle odot }$ es distributiva sobre otra ${displaystyle circledcirc }$ si es distributiva por la derecha y por la izquierda.

a(b+c) = ab +ac, por la izquierda; y por la derecha, (b+ c)a = ba +ca. Pues, al semigrupo multiplicativo no se exige la conmutatividad.

Si se tiene el conjunto A, no vacío, provisto de una operación binaria ${displaystyle odot }$, que indicaremos: ${displaystyle (A,odot )}$,

diremos que el elemento e, es el elemento neutro por la derecha si:

Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la derecha e', tal que e'*a = a, e = e'; hecho que se conoce como unicidad del elemento neutro.

diremos que el elemento e, es el elemento neutro por la izquierda si:

Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la izquierda e', tal que a*e' = a, e = e'; hecho que se conoce como unicidad del elemento neutro.

Un elemento e es elemento neutro en ${displaystyle (A,odot )}$ si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

Sea A un conjunto no vacío y ${displaystyle odot }$ una operación binaria:

Diremos que ${displaystyle {overline {a}}}$ es simétrico de ${displaystyle a}$ si:

donde e es el elemento neutro.

Sea A un conjunto no vacío y ${displaystyle odot }$ una operación binaria:

Diremos que ${displaystyle din A}$ es elemento involutivo si:

Sea A un conjunto no vacío y ${displaystyle odot }$ una operación binaria:

Diremos que ${displaystyle sin A}$ es Elemento absorbente si:

Se denomina así al elemento s de A, tal que pata todo a de A se cumple que operado s con a es igual que operas a con s y el resultado es s.

Sea A un conjunto con una operación binaria ${displaystyle (a,odot )}$:

por lo que cabe la ecuación:

Si:

Si A admite elementos simétricos, se define:

Agrupando:

donde e es el elemento neutro:

simplificando:

La operación inversa sería ${displaystyle {overline {odot }}}$

Sea A con la operación * si a*b =a*c implica que b=c, se dice que se ha simplificado a por la izquierda. Y si de b*a =c*a se deduce b=c y se dice que se ha simplificado por la derecha. Si se puede simplificar por ambos lados se habla de simplificación o cancelación.

Sea el conjunto A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 se deduce que a*b = 0 , se dice que a y b son divisores del 0.

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