Regla del producto (cálculo)

En cálculo, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto, es una fórmula usada para hallar la derivada del producto de dos o más funciones

o usando la notación de Leibniz:

La regla puede ser extendida o generalizada a situaciones en las que por ejemplo, se incluye el producto de más de dos funciones.

Se puede demostrar la regla usando las características del límite y la definición de la derivada como el límite del cociente de la diferencia.

Sea

con ${displaystyle g}$ y ${displaystyle h}$ continuas y diferenciables en la variable ${displaystyle x}$ entonces

Como

se tiene

Distribuyendo ahora el límite entre la suma y los productos (ver propiedades), obtenemos que

Como ${displaystyle h}$ es continua en ${displaystyle x}$ se tiene

y por la definición de la derivada, y la diferenciabilidad de ${displaystyle h}$ y ${displaystyle g}$ en ${displaystyle x}$ se tiene también que

Por lo tanto

Suponiendo que se quiere derivar:

Usando la regla del producto, se obtiene la derivada:

La regla del producto puede ser generalizada a productos de más de dos factores, por ejemplo, para tres factores tenemos

Para una colección de funciones ${displaystyle f_{1},dots ,f_{k}}$ tenemos

La derivada logarítmica ayuda a demostrar la expresión anterior sin necesidad de recurrir a alguna recursión.

También puede generalizarse a la regla general de Leibniz para la ${displaystyle n}$-ésima derivada del producto de dos factores.

Sean ${displaystyle f}$ y ${displaystyle g}$ funciones ${displaystyle n}$ veces diferenciables. La ${displaystyle n}$-ésima derivada del producto ${displaystyle fcdot g}$ viene dada por:

donde

es llamado coeficiente binomial.

Esta fórmula puede ser demostrada a través de la regla del producto e inducción.

Más aún, la ${displaystyle n}$-ésima derivada de un número arbitrario de factores

Supóngase que ${displaystyle X}$, ${displaystyle Y}$ y ${displaystyle Z}$ son espacios de Banach y ${displaystyle B:X imes Y o Z}$ es un operador bi lineal continuo, entonces ${displaystyle B}$ es diferenciable y su derivada en el punto ${displaystyle (x,y)}$ en ${displaystyle X imes Y}$ es el mapeo lineal ${displaystyle D_{(x,y)}B:X imes Y o Z}$ dado por

La regla del producto se extiende al producto escalar y producto vectorial de funciones vectoriales como

Para producto escalar: ${displaystyle (mathbf {f} cdot mathbf {g} )'=mathbf {f} 'cdot mathbf {g} +mathbf {f} cdot mathbf {g} '}$

Para producto vectorial: ${displaystyle (mathbf {f} imes mathbf {g} )'=mathbf {f} ' imes mathbf {g} +mathbf {f} imes mathbf {g} '}$