En cálculo, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto, es una fórmula usada para hallar la derivada del producto de dos o más funciones
o usando la notación de Leibniz:
La regla puede ser extendida o generalizada a situaciones en las que por ejemplo, se incluye el producto de más de dos funciones.
Se puede demostrar la regla usando las características del límite y la definición de la derivada como el límite del cociente de la diferencia.
Sea
con y continuas y diferenciables en la variable entonces
Como
se tiene
Distribuyendo ahora el límite entre la suma y los productos (ver propiedades), obtenemos que
Como es continua en se tiene
y por la definición de la derivada, y la diferenciabilidad de y en se tiene también que
Por lo tanto
Suponiendo que se quiere derivar:
Usando la regla del producto, se obtiene la derivada:
La regla del producto puede ser generalizada a productos de más de dos factores, por ejemplo, para tres factores tenemos
Para una colección de funciones tenemos
La derivada logarítmica ayuda a demostrar la expresión anterior sin necesidad de recurrir a alguna recursión.
También puede generalizarse a la regla general de Leibniz para la -ésima derivada del producto de dos factores.
Sean y funciones veces diferenciables. La -ésima derivada del producto viene dada por:
donde
es llamado coeficiente binomial.
Esta fórmula puede ser demostrada a través de la regla del producto e inducción.
Más aún, la -ésima derivada de un número arbitrario de factores
Supóngase que , y son espacios de Banach y es un operador bi lineal continuo, entonces es diferenciable y su derivada en el punto en es el mapeo lineal dado por
La regla del producto se extiende al producto escalar y producto vectorial de funciones vectoriales como
Para producto escalar:
Para producto vectorial:
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