Runge-Kutta

En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

Sean:

una ecuación diferencial ordinaria, con ${displaystyle f:Omega subset mathbb {R} imes mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{n}}$ donde ${displaystyle Omega ,}$ es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento ${displaystyle Delta t_{n}}$ entre los sucesivos puntos ${displaystyle t_{n}}$ y ${displaystyle t_{n+1}}$. Los coeficientes ${displaystyle k_{i}}$ son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

con ${displaystyle a_{ij},b_{i},c_{i}}$ coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes ${displaystyle a_{ij}}$ del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, ${displaystyle a_{ij}=0}$ para ${displaystyle j=i,...,s}$, los esquemas son explícitos.

Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en ${displaystyle t=t_{n}}$ y otra en ${displaystyle t=t_{n}+Delta t_{n}}$. ƒ(t,y(t)) en la primera etapa es:

Para estimar ƒ(t,y) en ${displaystyle t=t_{n}+Delta t_{n}}$ se usa un esquema Euler

Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación

de manera que se obtiene la expresión:

Los coeficientes propios de este esquema son: ${displaystyle b_{1}=b_{2}=1/2;a_{21}=1;c_{2}=1.}$

Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).

Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso.

El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s); estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta usado ampliamente es el de cuarto orden. Es usado tanto que a menudo es referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta».

Definiendo un problema de valor inicial como:

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

Donde

Así, el siguiente valor (y_n+1) es determinado por el presente valor (y_n) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde ${displaystyle k_{1}}$ es la pendiente al principio del intervalo, ${displaystyle k_{2}}$ es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando ${displaystyle k_{1}}$ para determinar el valor de y en el punto ${displaystyle scriptstyle x_{n}+{frac {h}{2}}}$ usando el método de Euler. ${displaystyle k_{3}}$ es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando ${displaystyle k_{2}}$ para determinar el valor de y; ${displaystyle k_{4}}$ es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por ${displaystyle k_{3}}$. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de ${displaystyle O(h^{5})}$, mientras que el error total acumulado tiene el orden ${displaystyle O(h^{4})}$. Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de ${displaystyle O(h^{4})}$, razón por la cual es usado en los métodos computacionales.

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