Serie de Mercator
En matemáticas, la serie de Mercator o serie de Newton–Mercator es la serie de Taylor del logaritmo natural:
Escrita utilizando notación sumatorio,
La serie converge al logaritmo natural (desplazado en 1) cuando −1 < x ≤ 1.
La serie fue descubierta, independientemente por Nicholas Mercator, Isaac Newton y Gregory Saint-Vincent. Fue publicada por primera vez por Mercator, en su tratado Logarithmo-technica de 1668.
La serie puede ser obtenida del teorema de Taylor, mediante el cálculo inductivo de la nésima derivada del ln x en x = 1, comenzando con
Alternativamente, se puede comenzar con la serie geométrica finita (t ≠ −1)
que da
Se sigue que
y por integración término a término ,
Si −1 < x ≤ 1, el término resto tiende a 0 cuando .
Esta expresión puede ser integrada iterativamente k veces más para obtener
donde
y
son polinomios en x.
Tomando x = 1 en la serie de Mercator se obtiene la serie armónica alternada.
La serie de potencias compleja
es la serie de Taylor para -log(1 - z), donde log denota la rama principal del logaritmo complejo. Esta serie precisamente converge para todo número complejo |z| ≤ 1, z ≠ 1. De hecho, se puede ver mediante el criterio de d'Alembert, que esta tiene radio de convergencia igual a 1, por lo tanto, converge absolutamente en todo disco B(0, r) con radio r < 1. Más aún, esta converge en todo disco agujereado , con δ > 0. Esto es consecuencia inmediata de la identidad algebraica:
observando que el lado derecho es uniformemente convergente en todo el disco cerrado unidad.