Sistemas dinámicos

Un sistema dinámico es un sistema cuyo estado evoluciona con el tiempo. Los sistemas físicos en situación no estacionaria son ejemplos de sistemas dinámicos, pero también existen modelos económicos, matemáticos y de otros tipos que son sistemas abstractos y, a su vez, sistemas dinámicos. El comportamiento en dicho estado se puede caracterizar determinando los límites del sistema, los elementos y sus relaciones; de esta forma se pueden elaborar modelos que buscan representar la estructura del mismo sistema.

Al definir los límites del sistema se hace, en primer lugar, una selección de aquellos componentes que contribuyan a generar los modos de comportamiento, y luego se determina el espacio donde se llevará a cabo el estudio, omitiendo toda clase de aspectos irrelevantes.

En cuanto a la elaboración de los modelos, los elementos y sus relaciones, se debe tener en cuenta:

Un ejemplo de un sistema dinámico se puede ver en una especie de peces que se reproduce de tal forma que este año la cantidad de peces es ${displaystyle X_{k}}$, el año próximo será ${displaystyle X_{k+1}}$. De esta manera podemos poner nombres a las cantidades de peces que habrá cada año, así: año inicial ${displaystyle X_{0}}$, año primero ${displaystyle X_{1}}$,........... ......, año k ${displaystyle X_{k}}$.

Como se puede observar :${displaystyle x_{k+1}=f(x_{k}),!}$, se cumple para cualquier año k; lo cual significa que la cantidad de peces se puede determinar si se sabe la cantidad del año anterior. Por consiguiente esta ecuación representa un sistema dinámico.

Los sistemas dinámicos se dividen en sistemas discretos en el tiempo y continuos en el tiempo. Un sistema dinámico se dice discreto si el tiempo se mide en pequeños lapsos; estos son modelados como relaciones recursivas, tal como la ecuación logística:

${displaystyle x_{t+1}=ax_{t}(1-x_{t}),!}$

donde t denota los pasos discretos del tiempo y x es la variable que cambia con este. Un sistema dinámico discreto determinista general puede modelarse mediante una ecuación abstracta del tipo:

Si el tiempo es medido en forma continua, el sistema dinámico continuo resultante es expresado como una ecuación diferencial ordinaria; por ejemplo:

donde x es la variable que cambia con el tiempo t. La variable cambiante x es normalmente un número real, aunque también puede ser un vector en R^k.

Se distingue entre sistemas dinámicos lineales y sistemas dinámicos no lineales. En los sistemas lineales, el segundo miembro de la ecuación es una expresión que depende en forma lineal de x, tal como:

Si se conocen dos soluciones para un sistema lineal, la suma de ellas es también una solución; esto se conoce como principio de superposición. En general, las soluciones provenientes de un espacio vectorial permiten el uso del álgebra lineal y simplifican significativamente el análisis. Para sistemas lineales continuos, el método de la transformada de Laplace también puede ser usado para transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica; así mismo que para los sistemas lineales discretos, el método de la transformada Z también puede ser usado para transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica.

Los sistemas no lineales son mucho más difíciles de analizar y a menudo exhiben un fenómeno conocido como caos, con comportamientos totalmente impredecibles.

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