Suma de Ramanujan

En matemáticas, la suma de Ramanujan, llamada así por Srinivasa Ramanujan y normalmente escrita como c_q(n), se define como

donde n y q son los dos enteros positivos que definen la suma; (a,q)=1 indica que a solo puede tomar valores cuyo máximo común divisor con respecto a q sea 1 (es decir, que a y q sean coprimos entre sí); y e^(x) es la función exponencial.

Es fácilmente demostrable que la suma de Ramanujan es multiplicativa, por ejemplo,

para cualquier (q,r) = 1.

Otra propiedad es que c_q(n) es igual a su complejo conjugado, y por tanto real.

Escribiendo d como el máximo común divisor de q y n, y nombrando la función de Möbius y la función fi de Euler por μ y φ respectivamente, cumple la siguiente identidad:

Ramanujan evaluó infinitas series de la forma

para diversas secuencias (a_q).^[1]​ En particular, para s cualquier número real mayor o igual que 1, encontró que las series de Dirichlet cumplían que:

donde σ es la función divisor y ζ la función zeta de Riemann. En los casos s = 1 y s = 2 esto es

y

respectivamente.

Otras identitidades obtenidas por Ramanujan son

y

donde r₂(n) son el número de representaciones de n como x² + y² en enteros x e y.

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