Tensor de inercia

El tensor de inercia es un tensor simétrico de segundo orden que caracteriza la inercia rotacional de un sólido rígido. Expresado en una base del espacio viene dado por una matriz simétrica, dicho tensor se forma a partir de los momentos de inercia según tres ejes perpendiculares y tres productos de inercia (dicha construcción se explica en este otro artículo).

El tensor de inercia sólido rígido se define como un tensor simétrico de segundo orden tal que la forma cuadrática construida a partir del tensor y la velocidad angular Ω da la energía cinética de rotación, es decir:

${displaystyle E_{rot}={frac {1}{2}}left({egin{matrix}Omega _{x}&Omega _{y}&Omega _{z}\end{matrix}} ight)left({egin{matrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}end{matrix}} ight)left({egin{matrix}Omega _{x}\Omega _{y}\Omega _{z}\end{matrix}} ight)={frac {1}{2}}sum _{j}sum _{k}I_{jk}Omega _{j}Omega _{k}}$

Donde las componentes de este tensor de inercia en una base ortonormal XYZ pueden calcularse a partir de los tres momentos de inercia según esos tres ejes perpendiculares:

${displaystyle {egin{cases}I_{xx}=int _{M}d_{x}^{2}dm=int _{V} ho (y^{2}+z^{2})dxdydz\I_{yy}=int _{M}d_{y}^{2}dm=int _{V} ho (z^{2}+x^{2})dxdydz\I_{zz}=int _{M}d_{z}^{2}dm=int _{V} ho (x^{2}+y^{2})dxdydzend{cases}}}$

Y los tres productos de inercia que se calculan como:

Todas las formas anteriores pueden resumirse en la siguiente fórmula tensorial:

${displaystyle I_{ij}=I_{ji}=int _{M}left[delta _{ij}left(sum _{i}x_{i}^{2} ight)-x_{i}x_{j} ight] dm=int _{V} ho left[delta _{ij}left(sum _{i}x_{i}^{2} ight)-x_{i}x_{j} ight] dV}$

Donde ${displaystyle i,jin {1,2,3}}$ y donde ${displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})=(x,y,z);}$.

La velocidad de un cuerpo rígido se puede escribir como la suma de la velocidad del centro de masa más la velocidad de un elemento del sólido, matemáticamente esto es:

${displaystyle mathbf {v} =mathbf {V} _{CM}+mathbf {Omega } wedge mathbf {r} }$

donde ${displaystyle mathbf {v} }$ es la velocidad, ${displaystyle mathbf {V} _{CM}}$ es la velocidad del centro de masa, ${displaystyle mathbf {Omega } }$ es la velocidad angular de un sistema de coordenadas solidario al sólido, medida en el mismo sistema de coordenadas en el que se mide ${displaystyle mathbf {V} _{CM}}$ y ${displaystyle {vec {r}}}$ es el radiovector que parte del centro de masas hacia el elemento del sólido. Si se toma la norma al cuadrado de este vector se puede obtener la energía cinética de dicho diferencial de cuerpo rígido, a saber

${displaystyle dT={frac {1}{2}}v^{2}dm}$

donde ${displaystyle dm= ho (mathbf {r} )dV}$, con ${displaystyle ho (mathbf {r} )}$ la densidad del cuerpo y ${displaystyle dV}$ un elemento de volumen. Para obtener la energía cinética total del cuerpo rígido se debe integrar en todo el volumen de éste:

${displaystyle T={frac {1}{2}}int _{V} ho (mathbf {r} )v^{2}dV}$

${displaystyle T={frac {1}{2}}MV_{CM}^{2}+{frac {1}{2}}int _{V} ho (mathbf {r} )(mathbf {Omega } wedge mathbf {r} )^{2}dV+int ho (mathbf {r} )mathbf {V} _{CM}cdot (mathbf {Omega } wedge mathbf {r} )dV}$

Es precisamente por haber empleado el campo de velocidades en el centro de masas que ${displaystyle int ho mathbf {r} dV=0}$ por definición de centro de masas, y por tanto el tercer término queda anulado:

${displaystyle int ho mathbf {V} _{CM}cdot (mathbf {Omega } wedge mathbf {r} )dV=mathbf {V} _{CM}cdot (mathbf {Omega } wedge int ho mathbf {r} dV)}$

De este modo:

${displaystyle T={frac {1}{2}}MV_{CM}^{2}+{frac {1}{2}}int _{V} ho (mathbf {r} )(mathbf {Omega } wedge mathbf {r} )^{2}dV}$

es evidente, que el primer término es la energía cinética debido a la traslación del cuerpo. El otro término, en consecuencia, debe ser la energía asociada a la rotación del mismo. Si se escribe explícitamente el integrando de este último término se tiene

${displaystyle mathbf {Omega } wedge mathbf {r} =(Omega _{2}x_{3}-Omega _{3}x_{2};Omega _{3}x_{1}-Omega _{1}x_{3};Omega _{1}x_{2}-Omega _{2}x_{1})}$

${displaystyle (mathbf {Omega } wedge mathbf {r} )^{2}={frac {1}{2}}sum _{ij}(Omega _{i}x_{j}-Omega _{j}x_{i})^{2}=sum _{ij}Omega _{i}^{2}x_{j}^{2}-Omega _{j}x_{i}Omega _{i}x_{j}=sum _{ij}Omega _{i}Omega _{j}(delta _{ij}r^{2}-x_{i}x_{j})}$

donde es claro que:

${displaystyle Omega _{i}=sum _{j}Omega _{j}delta _{ij},}$

con ${displaystyle delta _{ij}}$ la delta de Kronecker. Poniendo este resultado en la expresión asociada a la energía cinética debido a la rotación y poniendo la integral dentro de la sumatoria se tiene

${displaystyle T_{rot}={frac {1}{2}}sum _{ij}Omega _{i}Omega _{j}int _{V} ho (mathbf {r} )(delta _{ij}r^{2}-x_{i}x_{j})dV}$

Debe notarse que el factor correspondiente a la integral depende únicamente de las característica geométricas (físicas) del cuerpo. En efecto, depende de su forma (volumen) y de la masa del cuerpo y de como cómo está distribuida en dicha forma. Este factor es la componente ${displaystyle i,,j}$ de una cierta matriz que se conoce como Tensor de Inercia, puesto que toda matriz corresponde a un tensor de segundo rango:

${displaystyle I_{ij}=int _{V} ho (mathbf {r} )(delta _{ij}r^{2}-x_{ij})quad dV}$

A los elementos ${displaystyle I_{ii},,i=1,2,3}$ se los llama momento de inercia respecto del eje ${displaystyle i}$. Claramente, se ve que el tensor de inercia es simétrico, por lo tanto es siempre diagonalizable. Es decir, siempre se puede encontrar una base de vectores tal que dicha matriz tenga forma diagonal. Tales vectores definen lo que se conoce como ejes principales. En otras palabras, siempre se puede elegir un sistema completo de vectores ortonormales (ejes principales) con los cuales el tensor de inercia toma forma diagonal.

En mecánica clásica el momento angular de un sólido rígido se puede expresar fácilmente en términos del tensor de inercia. Si el vector velocidad angular es ${displaystyle {oldsymbol {omega }}=(omega _{x},omega _{y},omega _{z})}$, resulta que el vector momento angular se puede expresar como:

${displaystyle {oldsymbol {L}}=mathbf {I} {oldsymbol {omega }},qquad Leftrightarrow qquad {egin{bmatrix}L_{x}\L_{y}\L_{z}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}omega _{x}\omega _{y}\omega _{z}end{bmatrix}}}$

ya que:

${displaystyle {oldsymbol {L}}={frac {partial E_{rot}}{partial omega }}}$

Dado un sólid rígido, se construye una matriz antisimétrica ${displaystyle mathbf {P} _{i}}$ para cada una de las partículas que lo forman a partir de sus coordenadas ${displaystyle {oldsymbol {r}}_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})}$ como:

${displaystyle mathbf {P} _{i}={egin{pmatrix}0&-z&y\z&0&-x\-y&x&0end{pmatrix}}}$

El tensor de inercia se puede expresar simplemente como:

${displaystyle mathbf {I} =sum _{i}mathbf {P} _{i}^{T}mathbf {P} _{i}}$

Si el cuerpo se modeliza como continuo, basta sustituir el sumatorio por una integral extendido sobre todo el cuerpo. El momento angular se puede expresar como matriz antisimétrica:

${displaystyle mathbf {hat {L}} =sum _{i}left((x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2})mathbf {Omega } -mathbf {P} _{i}^{T}mathbf {Omega } mathbf {P} _{i} ight),qquad mathbf {hat {L}} ={egin{pmatrix}0&-L_{z}&L_{y}\L_{z}&0&-L_{x}\-L_{y}&L_{x}&0end{pmatrix}},mathbf {Omega } ={egin{pmatrix}0&-omega _{z}&omega _{y}\omega _{z}&0&-omega _{x}\-omega _{y}&omega _{x}&0end{pmatrix}}}$

La energía rotacional se puede expresar mediante la traza de un producto de matrices:

${displaystyle E_{rot}={frac {1}{2}}sum _{i}{ ext{tr}}left((x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2})mathbf {Omega } ^{T}mathbf {Omega } -mathbf {P} _{i}^{T}mathbf {Omega } ^{T}mathbf {Omega } mathbf {P} _{i} ight)}$

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