Teoría de Ramsey

La teoría de Ramsey, llamada así por Frank P. Ramsey, es un campo de las matemáticas que estudia las condiciones bajo las cuales debe aparecer el orden.

Los problemas de la teoría de Ramsey son típicamente de la forma: ¿Cuántos elementos debe contener una estructura para garantizar la existencia de una propiedad particular?

Supongamos que n palomas han sido alojadas en m nidos. ¿Qué tamaño ha de tener n, con respecto a m, para que se pueda garantizar que al menos, un nido contenga dos palomas?. La respuesta está dada por el Principio del palomar: si n > m, entonces, por lo menos, un nido tendrá dos palomas. La teoría de Ramsey generaliza este resultado, como se explica a continuación.

Un resultado típico de la teoría de Ramsey se inicia con alguna estructura matemática que se corta en trozos. ¿Qué tamaño ha de tener la estructura original con el fin de garantizar que al menos una de las piezas tenga una propiedad interesante dada?

Por ejemplo, consideremos un grafo completo de orden n, es decir, hay n vértices y cada vértice está conectado a todos los otros vértices por medio de una arista. Un grafo completo de orden 3 se llama triángulo. Ahora bien, cada arista puede tener uno de los siguientes colores: rojo o azul. ¿Cómo de grande debe ser n para poder garantizar que exista un triángulo azul o un triángulo rojo?. Resulta que la respuesta es 6. Véase el artículo sobre el teorema de Ramsey para una prueba rigurosa.

Otra manera de expresar este resultado es el siguiente: en cualquier actividad con al menos seis personas, hay tres personas que son mutuamente conocidas o mutuamente desconocidas. Véase el teorema de la amistad.

Este es un caso especial del teorema de Ramsey, que dice que para cualquier entero dado c, y dado los enteros n₁,...,n_c, existe el número: R(n₁,...,n_c), llamado número de Ramsey, tal que si las aristas de un grafo completo de orden R(n₁,...,n_c) se colorean con c colores distintos, entonces para algún i entre 1 y c, debe contener un subgrafo completo de orden n_i cuyas aristas están todas coloreadas con el color i. El caso especial de arriba tiene c = 2 y n₁ = n₂ = 3.

Para dos colores y valores de r y s a lo sumo 10 se conocen los siguientes valores exactos y cotas:

Como R(r, s) = R(s, r), hay una simetría trivial con respecto la diagonal.

Esta tabla está extraída del survey Small Ramsey Numbers de Stanisław Radziszowski,^[2]​excepto R(4,6)≥36, probado por Geoffrey Exoo en 2012;^[3]​ R(3,10) ≤ 42, probado por Jan Goedgebeur y Stanisław Radziszowski en 2012;^[4]​ y R(4,8) ≥ 58, probado por Hiroshi Fujita en 2012.^[5]​

Para tres colores, el único valor exacto no trivial conocido es R(3,3,3)=17.

De idéntica forma se puede definir el número de Ramsey de grafos que no sean completos, conociéndose para dos colores y grafos con a lo más 5 vértices, todos los valores exactos salvo los dos casos formados por dos grafos completos con 5 vértices y por uno completo de 5 vértices menos una arista y uno completo de 5 vértices.

Algunos resultados importantes de teoría de Ramsey son:

Los resultados en la teoría de Ramsey normalmente tienen dos características básicas. En primer lugar, generalmente no son constructivas, los resultados muestran la existencia de alguna estructura, pero no se da una receta o procedimiento para encontrarla (que no sea la Búsqueda de fuerza bruta). En segundo lugar, mientras los resultados de la teoría de Ramsey nos dicen que un objeto lo suficientemente grande deberá contener necesariamente una estructura dada, a menudo la prueba de estos resultados requiere que estos objetos sean enormemente grandes con límites que crecen de manera exponencial.

${displaystyle N(n)=2^{n-2}+1,}$

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