Teoría de homología

En álgebra abstracta un conjunto ${displaystyle {A_{i},,delta _{i}}}$ consistente en estructuras algebraicas ${displaystyle A_{i}}$ (ya sea grupos abelianos o anillos o módulos o espacios vectoriales) y ${displaystyle delta _{i}}$ morfismos (según sea la categoría), se llama complejo de cadenas si la construcción

satisface ${displaystyle delta _{n}circ delta _{n+1}=0,}$. Esta última condición implica ${displaystyle operatorname {im} delta _{n+1}subseteq ker delta _{n},}$ para toda ${displaystyle n}$. Este concepto es clave para entender lo que es la homología.

El símbolo ${displaystyle A_{ullet }}$ se utiliza para designar al par ${displaystyle {A_{i},,delta _{i}}}$.

A las estructuras cociente

se les llama grupos de homología del complejo de cadenas ${displaystyle A_{ullet }}$

Esta última construcción es muy importante en la topología algebraica, pues conforma una de sus principales herramientas.

Un morfismo (de grado cero) entre dos complejos ${displaystyle A_{ullet }={A_{q},,delta _{q}}}$ y ${displaystyle B_{ullet }={B_{q},,gamma _{q}}}$ es un conjunto ${displaystyle f_{ullet }={f_{q}}}$ de morfismos entre las estructuras algebraicas ${displaystyle A_{q}{stackrel {f_{q}}{ o }}B_{q}}$ tales que ${displaystyle f_{q}circ delta _{q+1}=gamma _{q+1}circ f_{q+1}}$. Simbólicamente ${displaystyle f_{ullet }colon A_{ullet } o B_{ullet }}$ indica lo mismo.

Un morfismo de grado d corresponde a una familia de morfismos ${displaystyle A_{q}{stackrel {g_{q}}{ o }}B_{q-d}}$ con la misma propiedad ${displaystyle g_{q}circ delta _{q+1}=gamma _{q+1}circ g_{q+1}}$

Desde el punto de vista de teoría de categorías tenemos la categoría de complejos de cadenas y los cadeno-morfismos. Una utilización de ésta consideración es que las principales teorías de la topología algebraica tales como la homología, cohomología y la homotopía son verdaderos functores que asignan -por ejemplo la homología- a un par topológico ${displaystyle (X,A)}$ una familia de grupos abelianos ${displaystyle {H_{n}(X,A)}}$ que formarán una complejo de cadenas ${displaystyle cdots o H_{i}(A) o H_{i}(X) o H_{i}(X,A) o H_{i-1}(A) o cdots }$ y donde un mapeo continuo ${displaystyle fcolon (X,B) o (Y,B)}$ entre pares topológicos induce un conjunto de morfismos ${displaystyle f_{#}colon H_{i}(A) o H_{i}(B)}$, ${displaystyle f_{#}colon H_{i}(X) o H_{i}(Y)}$ y ${displaystyle f_{#}colon H_{i}(X,A) o H_{i}(Y,B)}$ con las propiedades suficientes para así considerarle como un cadeno-morfismo.

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