Teorema de Abel-Ruffini

${displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Una solución general para cualquier ecuación cuadrática se puede obtener utilizando la fórmula cuadrática anterior. Existen fórmulas similares para las ecuaciones polinómicas de grado 3 y 4. Pero no hay tal fórmula para los polinomios de 5º grado; la solución real -1,1673 ... hasta la ecuación de quinto grado de abajo no se puede escribir usando operaciones aritméticas básicas y las raíces n-ésimas:

${displaystyle x^{5}-x+1=0}$

En matemáticas el teorema de Abel-Ruffini (también conocido como Teorema de la imposibilidad de Abel) enuncia que no pueden resolverse por radicales las ecuaciones polinómicas generales de grado igual o superior a cinco.

Es decir, no es posible encontrar las soluciones de la ecuación general:

de grado superior o igual a cinco, aplicando únicamente un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracción de raíces a los coeficientes de la ecuación.

El teorema fue nombrado por Paolo Ruffini, que hizo una prueba incompleta en 1799, y el noruego Niels Henrik Abel que proporcionó una prueba en 1823. Évariste Galois demostró de forma independiente el teorema en una obra que fue publicada póstumamente en 1846.^[1]​

El contenido de este problema es generalmente mal entendido:

La siguiente demostración está basada en la Teoría de Galois. Uno de los teoremas fundamentales de la teoría de Galois dice que una ecuación se puede resolver en radicales si, y solo si tiene un Grupo de Galois que se puede resolver, entonces la demostración del teorema de Abel-Ruffini viene de calcular el grupo de Galois del polinomio general de quinto grado.

Sea ${displaystyle y_{1}}$ un número real trascendente sobre el cuerpo de los números racionales ${displaystyle mathbb {Q} }$, y sea ${displaystyle y_{2}}$ un número real trascendente sobre ${displaystyle mathbb {Q} (y_{1})}$, y así hasta ${displaystyle y_{5}}$ que es trascendente sobre ${displaystyle mathbb {Q} (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})}$. Estos números son llamados elementos trascendentes independientes sobre ${displaystyle mathbb {Q} }$. Sea ${displaystyle E=mathbb {Q} (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},y_{5})}$ y sea

${displaystyle f(x)=(x-y_{1})(x-y_{2})(x-y_{3})(x-y_{4})(x-y_{5})in E[x].}$

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