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Teorema de Abel-Ruffini



Una solución general para cualquier ecuación cuadrática se puede obtener utilizando la fórmula cuadrática anterior. Existen fórmulas similares para las ecuaciones polinómicas de grado 3 y 4. Pero no hay tal fórmula para los polinomios de 5º grado; la solución real -1,1673 ... hasta la ecuación de quinto grado de abajo no se puede escribir usando operaciones aritméticas básicas y las raíces n-ésimas:

En matemáticas el teorema de Abel-Ruffini (también conocido como Teorema de la imposibilidad de Abel) enuncia que no pueden resolverse por radicales las ecuaciones polinómicas generales de grado igual o superior a cinco.

Es decir, no es posible encontrar las soluciones de la ecuación general:

de grado superior o igual a cinco, aplicando únicamente un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracción de raíces a los coeficientes de la ecuación.

El teorema fue nombrado por Paolo Ruffini, que hizo una prueba incompleta en 1799, y el noruego Niels Henrik Abel que proporcionó una prueba en 1823. Évariste Galois demostró de forma independiente el teorema en una obra que fue publicada póstumamente en 1846.[1]


El contenido de este problema es generalmente mal entendido:

La siguiente demostración está basada en la Teoría de Galois. Uno de los teoremas fundamentales de la teoría de Galois dice que una ecuación se puede resolver en radicales si, y solo si tiene un Grupo de Galois que se puede resolver, entonces la demostración del teorema de Abel-Ruffini viene de calcular el grupo de Galois del polinomio general de quinto grado.

Sea un número real trascendente sobre el cuerpo de los números racionales , y sea un número real trascendente sobre , y así hasta que es trascendente sobre . Estos números son llamados elementos trascendentes independientes sobre . Sea y sea



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