Teorema de Cayley-Hamilton

En álgebra lineal, el teorema de Cayley-Hamilton (que lleva los nombres de los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilton) asegura que todo endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo cualquiera anula su propio polinomio característico.

En términos matriciales, eso significa que :

si A es una matriz cuadrada de orden n y si

es su polinomio característico (polinomio de indeterminada λ), entonces al sustituir formalmente λ por la matriz A en el polinomio, el resultado es la matriz nula:

El teorema de Cayley-Hamilton se aplica también a matrices cuadradas de coeficientes en un anillo conmutativo cualquiera.

Un corolario importante del teorema de Cayley-Hamilton afirma que el polinomio mínimo de una matriz dada es un divisor de su polinomio característico, y no solo eso, el polinomio mínimo tiene los mismos factores irreducibles que el polinomio característico.

Este teorema tiene dos familias de uso:

Encontramos este teorema utilizado en los artículos sobre los polinomios de endomorfismo, endomorfismos nilpotentes, y más en general en la teoría general de las matrices.

Efectuamos la demostración sobre la matriz ${displaystyle A}$. Definamos la matriz ${displaystyle B(X)}$ como ${displaystyle B(X)=adj(A-XI)}$. Sabemos que

Podemos interpretar los miembros y factores de esta igualdad como polinomios en X con coeficientes en el anillo de las matrices cuadradas nxn con coeficientes en K y esa igualdad implica que ${displaystyle P(X).I}$ es divisible por la izquierda por ${displaystyle XI-A}$. Esto implica entonces que el valor a la derecha (igual en realidad aquí también a su valor a la izquierda, ya que se obtiene ${displaystyle B(X)(A-XI)=det(A-XI)I}$) del polinomio ${displaystyle P(X)I}$ para ${displaystyle X=A}$ es nula. Este valor sólo es ${displaystyle P(A)}$, lo que termina la demostración.

Véase también Polinomio de endomorfismo para otra demostración.

Consideremos por ejemplo la matriz

El polinomio característico se escribe

El teorema de Cayley-Hamilton afirma que

y esta relación puede verificarse inmediatamente en ese caso. Además el teorema de Cayley-Hamilton permite calcular las potencias de una matriz de modo más sencillo que por un cálculo directo. Tomemos la relación anterior

Así, por ejemplo, para calcular A⁴, podemos escribir

y llegamos

Podemos utilizar también la relación polinomial inicial ${displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=0}$ para probar la inversibilidad de A y calcular su inverso. En efecto, basta con factorizar una potencia de A donde sea posible y

lo que demuestra que A admite como inverso