Teorema de Picard-Lindelöf

El teorema de Picard-Lindelöf (muchas veces llamado simplemente teorema de Picard, otras teorema de Cauchy-Lipschitz o teorema de existencia y unicidad) es un resultado matemático de gran importancia dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Establece bajo qué condiciones puede asegurarse la existencia y unicidad de solución de una EDO dado un problema de Cauchy (problema de valor inicial).

El teorema debe su nombre al matemático francés Charles Émile Picard y al topólogo finés Ernst Leonard Lindelöf, quien enunció la teoría de Picard tras su muerte.

Sea ${displaystyle f(t,x):Omega subseteq mathbb {R} imes mathbb {R} ^{n}longrightarrow mathbb {R} ^{n}}$, donde ${displaystyle Omega }$ es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de ${displaystyle {mathit {x}}}$ (interprétese ${displaystyle f(t,x)}$ como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado ${displaystyle (t_{0},x_{0})in Omega }$, podemos encontrar un intervalo cerrado ${displaystyle I_{alpha }=[t_{0}-alpha ,t_{0}+alpha ]subset mathbb {R} ,alpha >0}$ donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:

${displaystyle {egin{cases}x'=f(t,x)\x(t_{0})=x_{0}end{cases}}}$

que cumple que los pares ${displaystyle (t,x(t))in Omega ,forall tin I_{alpha }.}$

De hecho, el parámetro ${displaystyle alpha }$ puede ser encontrado de manera explícita, en la demostración se dan detalles de ello.

Definimos el siguiente operador entre funciones continuas, el operador de Picard, como sigue:

${displaystyle Gamma :{mathcal {C}}(I_{alpha }(t_{0}),B_{b}(x_{0}))longrightarrow {mathcal {C}}(I_{alpha }(t_{0}),B_{b}(x_{0}))}$ definido como: ${displaystyle Gamma varphi (t)=x_{0}+displaystyle int _{t_{0}}^{t}f(s,varphi (s))ds}$.

Vamos a imponer que esté bien definido, es decir, que su imagen sea una función que tome valores en ${displaystyle B_{b}(x_{0})}$, es decir, que la norma de ${displaystyle Gamma varphi (t)-x_{0}}$ sea menor que ${displaystyle b}$.

${displaystyle |Gamma varphi (t)-x_{0}|=left|displaystyle int _{t_{0}}^{t}f(s,varphi (s))ds ight|leq left|displaystyle int _{t_{0}}^{t}|f(s,varphi (s))|ds ight|leq M|t-t_{0}|leq Malpha leq b}$ El último paso es imposición, por lo que deberá ser que ${displaystyle alpha <b/M}$.

Veamos ahora que el operador de Picard es contractivo bajo ciertas hipótesis sobre ${displaystyle alpha }$ que más adelante podrán ser omitidas.

Dadas dos funciones ${displaystyle varphi _{1},varphi _{2}in {mathcal {C}}(I_{alpha }(t_{0}),B_{b}(x_{0}))}$ queremos:

${displaystyle |Gamma varphi _{1}-Gamma varphi _{2}|=left|displaystyle int _{t_{0}}^{t}(f(s,varphi _{1}(s))-f(s,varphi _{2}(s))ds) ight|leq left|displaystyle int _{t_{0}}^{t}|f(s,varphi _{1}(s))-f(s,varphi _{2}(s))|ds ight|}$. Pero como ${displaystyle f}$ es Lipschitz respecto la segunda variable tenemos que:

${displaystyle Lleft|displaystyle int _{t_{0}}^{t}|varphi _{1}(s)-varphi _{2}(s)|ds ight|leq Lalpha |varphi _{1}-varphi _{2}|}$.

Esto es contractivo si ${displaystyle alpha <1/L}$ o equivalentemente para tener igualdad si ${displaystyle alpha leq 1/(2L)}$.

Por lo tanto como el operador de Picard es un operador entre espacios de Banach (en particular espacios métricos inducidos por la norma) y contractivo, por el teorema del punto fijo de Banach, existe una única función ${displaystyle varphi in {mathcal {C}}(I_{alpha }(t_{0}),B_{b}(x_{0}))}$ tal que ${displaystyle Gamma varphi =varphi }$ es decir, solución del problema de valor inicial definida en ${displaystyle I{alpha }}$ donde ${displaystyle alpha }$ debe satisfacer las condiciones dadas, es decir, ${displaystyle alpha =min{a,b/M,1/(2L)}}$.

El resultado anterior exige los requisitos mínimos que debe cumplir una función si queremos aplicar el teorema. Añadiendo más condiciones al enunciado original, podemos dar este otro más sencillo: "Sea ${displaystyle f:[a,b] imes mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{n}}$ una función Lipschitz. Entonces, dados ${displaystyle (t_{0},x_{0})in [a,b] imes mathbb {R} ^{n}}$" existe una única solución ${displaystyle x(t)}$ del problema de valor inicial

${displaystyle {egin{cases}x'=f(t,x)\x(t_{0})=x_{0}end{cases}}}$

definida ${displaystyle forall tin [a,b]}$".

Es importante observar que el teorema de Picard sólo nos garantiza la existencia y unicidad local de la solución de una EDO. Es decir, más allá del intervalo proporcionado por el teorema (dado que su demostración es constructiva) no podemos decir nada, en principio, del comportamiento de la solución del problema de valor inicial. Es posible complementar el teorema señalando que existe un intervalo abierto, que llamaremos intervalo maximal en el cual puede garantizarse que la solución existe y es única; fuera de este intervalo, el teorema de Picard no puede aplicarse.

Ahora bien, hay un corolario del teorema del punto fijo de Banach que nos dice que si un operador ${displaystyle T^{n}}$ es contractivo para alguna potencia ${displaystyle nin mathbb {N} }$ entonces ${displaystyle T}$ tiene un único punto fijo. Intentaremos aplicar este resultado al operador de Picard. Pero antes veamos un pequeño lema que nos será muy útil para aplicar el anterior corolario.

Lema

${displaystyle |Gamma ^{m}varphi _{1}-Gamma ^{m}varphi _{2}|leq {frac {L^{m}alpha ^{m}}{m!}}|varphi _{1}-varphi _{2}|}$

Para ${displaystyle m=1}$ ya lo hemos visto, suponemos cierto para ${displaystyle m-1}$ y probemos para ${displaystyle m}$:

${displaystyle |Gamma ^{m}varphi _{1}-Gamma ^{m}varphi _{2}|=|Gamma Gamma ^{m-1}varphi _{1}-Gamma Gamma ^{m-1}varphi _{2}|leq left|displaystyle int _{t_{0}}^{t}|f(s,Gamma ^{m-1}varphi _{1}(s))-f(s,Gamma ^{m-1}varphi _{2}(s))|ds ight|leq Lleft|displaystyle int _{t_{0}}^{t}|Gamma ^{m-1}varphi _{1}(s)-Gamma ^{m-1}varphi _{2}(s)|ds ight|leq {frac {L^{m}alpha ^{m}}{m!}}|varphi _{1}-varphi _{2}|}$.

Por lo tanto ahora sí, teniendo esta desigualdad podemos asegurar que para ${displaystyle m}$ suficientemente grande, la cantidad ${displaystyle {frac {L^{m}alpha ^{m}}{m!}}<1}$ y por lo tanto ${displaystyle Gamma ^{m}}$ será contractivo y por el corolario anterior ${displaystyle Gamma }$ tendrá un único punto fijo. Por lo que, finalmente, hemos podido optimizar el intervalo a tomar ${displaystyle alpha =min{a,b/M}}$.

Esto lo que nos dice es que el intervalo de definición de la solución no depende de la constante de Lipschitz del campo, sino esencialmente en el intervalo de definición del campo y la máxima pendiente del mismo.

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